專題七概率統(tǒng)計 7 1統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 頻率分布直方圖的應用 思考 觀察頻率分布直方圖能得到哪些信息 例1某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度 從A B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶 根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分 得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度 不要求計算出具體值 給出結(jié)論即可 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 2 根據(jù)用戶滿意度評分 將用戶的滿意度分為三個等級 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 說明理由 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 解 1 B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出 B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值 B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中 而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 2 A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 記CA表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意 CB表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意 由直方圖得P CA 的估計值為 0 01 0 02 0 03 10 0 6 P CB 的估計值為 0 005 0 02 10 0 25 所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練1某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評 根據(jù)男女學生人數(shù)比例 使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生 記錄他們的分數(shù) 將數(shù)據(jù)分成7組 20 30 30 40 80 90 并整理得到如下頻率分布直方圖 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 從總體的400名學生中隨機抽取一人 估計其分數(shù)小于70的概率 2 已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人 試估計總體中分數(shù)在區(qū)間 40 50 內(nèi)的人數(shù) 3 已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70 且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等 試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例 解 1 根據(jù)頻率分布直方圖可知 樣本中分數(shù)不小于70的頻率為 0 02 0 04 10 0 6 所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1 0 6 0 4 所以從總體的400名學生中隨機抽取一人 其分數(shù)小于70的概率估計為0 4 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 2 根據(jù)題意 樣本中分數(shù)不小于50的頻率為 0 01 0 02 0 04 0 02 10 0 9 分數(shù)在區(qū)間 40 50 內(nèi)的人數(shù)為100 100 0 9 5 5 所以總體中分數(shù)在區(qū)間 40 50 內(nèi)的人數(shù)估計為400 20 3 由題意可知 樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為 0 02 0 04 10 100 60 所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60 30 所以樣本中的男生人數(shù)為30 2 60 女生人數(shù)為100 60 40 男生和女生人數(shù)的比例為60 40 3 2 所以根據(jù)分層抽樣原理 總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3 2 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 用樣本的數(shù)字特征估計總體 思考1 樣本有哪些數(shù)字特征 這些數(shù)字特征反映了樣本數(shù)據(jù)的什么情況 思考2 莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有哪些優(yōu)點及不足 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 例2為比較甲 乙兩地某月14時的氣溫狀況 隨機選取該月中的5天 將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù) 單位 制成如圖所示的莖葉圖 考慮以下結(jié)論 甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫 甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫 甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差 甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為 A B C D 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思1 樣本的數(shù)字特征主要有 中位數(shù) 眾數(shù) 平均數(shù) 標準差 方差 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù)反映了這組數(shù)據(jù)的集中程度 反映了樣本數(shù)據(jù)的總體水平 而標準差 方差反映這組數(shù)據(jù)的波動情況 標準差或方差越大 波動越大 2 莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點 1 所有數(shù)據(jù)信息都可由莖葉圖看到 2 莖葉圖便于記錄和表示 能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況 3 莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的不足 莖葉圖不能直接反映總體的分布情況 這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 進一步估計總體情況 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練2某市為了考核甲 乙兩部門的工作情況 隨機訪問了50名市民 根據(jù)這50名市民對這兩部門的評分 評分越高表明市民的評價越高 繪制莖葉圖如下 1 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門評分的中位數(shù) 2 分別估計該市的市民對甲 乙兩部門的評分高于90的概率 3 根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲 乙兩部門的評價 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 解 1 由所給莖葉圖知 50名市民對甲部門的評分由小到大排序 排在第25 26名的是75 75 則樣本中位數(shù)為75 所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75 50名市民對乙部門的評分由小到大排序 排在第25 26名的是66 68 則樣本中位數(shù)為 所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67 2 由所給莖葉圖知 50名市民對甲 乙部門的評分高于90的比率分別為 故該市的市民對甲 乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0 1 0 16 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 3 由所給莖葉圖知 市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù) 而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差 說明該市市民對甲部門的評價較高 評價較為一致 對乙部門的評價較低 評價差異較大 注 利用其他統(tǒng)計量進行分析 結(jié)論合理的也可 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 回歸方程的求法及回歸分析 思考 兩個變量具備什么關(guān)系才能用線性回歸方程來預測 如何判斷兩個變量具有這種關(guān)系 例3某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費 需了解年宣傳費x 單位 千元 對年銷售量y 單位 t 和年利潤z 單位 千元 的影響 對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi i 1 2 8 數(shù)據(jù)作了初步處理 得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 根據(jù)散點圖判斷 y a bx與y c d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型 給出判斷即可 不必說明理由 2 根據(jù) 1 的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù) 建立y關(guān)于x的回歸方程 3 已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x y的關(guān)系為z 0 2y x 根據(jù) 2 的結(jié)果回答下列問題 當年宣傳費x 49時 年銷售量及年利潤的預報值是多少 當年宣傳費x為何值時 年利潤的預報值最大 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思當兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系時 才可通過線性回歸方程來估計和預測 對兩個變量的相關(guān)關(guān)系的判斷有兩個方法 一是根據(jù)散點圖 具有很強的直觀性 直接得出兩個變量是正相關(guān)或負相關(guān) 二是計算相關(guān)系數(shù)法 這種方法能比較準確地反映相關(guān)程度 相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1 相關(guān)性就越強 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練3 2018全國 文18 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y 單位 億元 的折線圖 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型 根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 17 建立模型 30 4 13 5t 根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 7 建立模型 99 17 5t 1 分別利用這兩個模型 求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值 2 你認為用哪個模型得到的預測值更可靠 并說明理由 解 1 利用模型 該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為 30 4 13 5 19 226 1 億元 利用模型 該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為 99 17 5 9 256 5 億元 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 2 利用模型 得到的預測值更可靠 理由如下 i 從折線圖可以看出 2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y 30 4 13 5t上下 這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢 2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加 2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近 這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢 利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 99 17 5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢 因此利用模型 得到的預測值更可靠 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 ii 從計算結(jié)果看 相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元 由模型 得到的預測值226 1億元的增幅明顯偏低 而利用模型 得到的預測值的增幅比較合理 說明利用模型 得到的預測值更可靠 以上給出了2種理由 答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 獨立性檢驗 思考 獨立性檢驗有什么用途 例4某高校共有學生15000名 其中男生10500名 女生4500名 為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況 采用分層抽樣的方法 收集300名學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù) 單位 h 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 應收集多少名女生的樣本數(shù)據(jù) 2 根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù) 得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖 如圖 其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 估計該校學生每周平均體育運動時間超過4h的概率 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 3 在樣本數(shù)據(jù)中 有60名女生的每周平均體育運動時間超過4h 請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 能否在犯錯誤的概率不超過0 05的前提下認為該校學生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)系 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 解 1 300 90 所以應收集90名女生的樣本數(shù)據(jù) 2 由頻率分布直方圖得1 2 0 100 0 025 0 75 所以該校學生每周平均體育運動時間超過4h的概率的估計值為0 75 3 由 2 知 300 0 75 225 人 則有225人每周平均體育運動時間超過4h 75人每周平均體育運動時間不超過4h 因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的 90份是關(guān)于女生的 所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 結(jié)合列聯(lián)表可算得 所以 能在犯錯誤的概率不超過0 05的前提下認為該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)系 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思利用獨立性檢驗 能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預測 獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關(guān)系 并能較為準確地給出這種判斷的可信度 具體做法是根據(jù)公式計算隨機變量的觀測值k k值越大 說明 兩個變量有關(guān)系 的可能性越大 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練4海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新 舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比 收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱 測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量 單位 kg 其頻率分布直方圖如下 舊養(yǎng)殖法 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 新養(yǎng)殖法 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 記A表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg 估計A的概率 2 填寫下面列聯(lián)表 并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99 的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān) 3 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖 對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較 附 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 解 1 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62 因此 事件A的概率估計值為0 62 2 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 由于15 705 6 635 故有99 的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān) 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 3 箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值 或中位數(shù) 在50kg到55kg之間 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值 或中位數(shù) 在45kg到50kg之間 且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高 因此 可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定 從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 對于頻率分布表和頻率分布直方圖 在計數(shù)和計算時一定要準確 在繪制小長方形時 寬窄要一致 通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計 2 莖葉圖 頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的 莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成 沒有損失任何樣本信息 可以隨時記錄 而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息 必須在完成抽樣后才能制作 3 若x1 x2 xn的平均數(shù)為 方差為s2 則ax1 b ax2 b axn b的平均數(shù)為 方差為a2s2 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 4 利用頻率分布直方圖求眾數(shù) 中位數(shù)與平均數(shù)時 應注意這三者的區(qū)分 1 最高的長方形的中點即眾數(shù) 2 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的 3 平均數(shù)是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和 5 回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法 主要解決 1 確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系 如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式 2 根據(jù)一組觀察值 預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢 3 求出線性回歸方程 6 根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律 提高旅游服務質(zhì)量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量 單位 萬人 的數(shù)據(jù) 繪制了下面的折線圖 根據(jù)該折線圖 下列結(jié)論錯誤的是 A 月接待游客量逐月增加B 年接待游客量逐年增加C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月D 各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月 波動性更小 變化比較平穩(wěn) 答案 解析 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 如圖所示的莖葉圖記錄了甲 乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù) 單位 件 若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等 且平均值也相等 則x和y的值分別為 A 3 5B 5 5C 3 7D 5 7 A 解析甲組數(shù)據(jù)為56 62 65 70 x 74 乙組數(shù)據(jù)為59 61 67 60 y 78 若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等 則65 60 y 所以y 5 又兩組數(shù)據(jù)的平均值相等 所以56 62 65 70 x 74 59 61 67 65 78 解得x 3 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 已知一組數(shù)據(jù)4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 則該組數(shù)據(jù)的方差是 答案0 1 解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 5 1 方差為 4 7 5 1 2 4 8 5 1 2 5 1 5 1 2 5 4 5 1 2 5 5 5 1 2 0 1 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 4 某險種的基本保費為a 單位 元 繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人 續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況 得到如下統(tǒng)計表 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 記A為事件 一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費 求P A 的估計值 2 記B為事件 一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160 求P B 的估計值 3 求續(xù)保人本年度平均保費的估計值 規(guī)律總結(jié) 拓展演練