專題九選做大題 9 1坐標(biāo)系與參數(shù)方程 選修4 4 1 極坐標(biāo)系與極坐標(biāo) 1 極坐標(biāo)系 如圖所示 在平面內(nèi)取一個定點O 叫做極點 自極點O引一條射線Ox 叫做極軸 再選定一個長度單位 一個角度單位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了一個極坐標(biāo)系 2 極坐標(biāo) 設(shè)M是平面內(nèi)一點 極點O與點M的距離 OM 叫做點M的極徑 記為 以極軸Ox為始邊 射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角 記為 有序數(shù)對 叫做點M的極坐標(biāo) 記為M 一般地 不作特殊說明時 我們認(rèn)為 0 可取任意實數(shù) 2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點 x軸的非負(fù)半軸作為極軸 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點 它的直角坐標(biāo)是 x y 極坐標(biāo)為 則它們之間的關(guān)系為x cos y sin 另一種關(guān)系為 2 x2 y2 tan x 0 3 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點M 0 0 且此直線與極軸所成的角為 則它的方程為 sin 0sin 0 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 1 直線過極點 0和 0 2 直線過點M a 0 且垂直于極軸 cos a 3 直線過 且平行于極軸 sin b 考向一 考向二 考向三 考向四 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化例1在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) a 0 在以坐標(biāo)原點為極點 x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 曲線C2 4cos 1 說明C1是哪一種曲線 并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程 2 直線C3的極坐標(biāo)方程為 0 其中 0滿足tan 0 2 若曲線C1與C2的公共點都在C3上 求a 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2 y 1 2 a2 C1是以 0 1 為圓心 a為半徑的圓 將x cos y sin 代入C1的普通方程中 得到C1的極坐標(biāo)方程為 2 2 sin 1 a2 0 2 曲線C1 C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若 0 由方程組得16cos2 8sin cos 1 a2 0 由已知tan 2 可得16cos2 8sin cos 0 從而1 a2 0 解得a 1 舍去 a 1 a 1時 極點也為C1 C2的公共點 在C3上 所以a 1 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 無論是參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程 還是極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程 都要先化為直角坐標(biāo)方程 再由直角坐標(biāo)方程化為需要的方程 2 求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時 可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程求解 若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示 則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo) 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓(xùn)練1在直角坐標(biāo)系xOy中 以坐標(biāo)原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 半圓C的極坐標(biāo)方程為 2cos 1 求C的參數(shù)方程 2 設(shè)點D在C上 C在D處的切線與直線l 垂直 根據(jù) 1 中你得到的參數(shù)方程 確定D的坐標(biāo) 考向一 考向二 考向三 考向四 求兩點間距離的最值例2在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1 t為參數(shù) t 0 其中0 在以O(shè)為極點 x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 曲線C2 2sin C3 cos 1 求C2與C3交點的直角坐標(biāo) 2 若C1與C2相交于點A C1與C3相交于點B 求 AB 的最大值 考向一 考向二 考向三 考向四 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程 常用的消參方法有代入消參 加減消參和三角恒等式消參等 往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形 為消去參數(shù)創(chuàng)造條件 2 若極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合 極軸與x軸正半軸重合 兩坐標(biāo)系的長度單位相同 則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化 考向一 考向二 考向三 考向四 1 寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程 2 設(shè)點P在C1上 點Q在C2上 求 PQ 的最小值及此時P的直角坐標(biāo) 考向一 考向二 考向三 考向四 考向一 考向二 考向三 考向四 求三角形面積的最值例3在直角坐標(biāo)系xOy中 以坐標(biāo)原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C1的極坐標(biāo)方程為 cos 4 1 M為曲線C1上的動點 點P在線段OM上 且滿足 OM OP 16 求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程 2 設(shè)點A的極坐標(biāo)為 點B在曲線C2上 求 OAB面積的最大值 考向一 考向二 考向三 考向四 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得對于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的問題 既可以通過極坐標(biāo)和參數(shù)方程來解決 也可以通過直角坐標(biāo)解決 但大多數(shù)情況下 把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題 把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有利于在一個熟悉的環(huán)境下解決問題 這樣可以減少由于對極坐標(biāo)和參數(shù)方程理解不到位造成的錯誤 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 2 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 R 設(shè)C2與C3的交點為M N 求 C2MN的面積 考向一 考向二 考向三 考向四 求動點軌跡的方程例4已知動點P Q都在曲線C t為參數(shù) 上 對應(yīng)參數(shù)分別為t 與t 2 0 2 M為PQ的中點 1 求M的軌跡的參數(shù)方程 2 將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為 的函數(shù) 并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得在求動點軌跡方程時 如果題目有明確要求 求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程 那么就按要求做 如果沒有明確的要求 那么三種形式的方程寫出哪種都可 哪種形式的容易求就寫哪種 考向一 考向二 考向三 考向四 1 求 的取值范圍 2 求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程 考向一 考向二 考向三 考向四 考向一 考向二 考向三 考向四