5 2空間中的平行與垂直 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 線線 線面平行或垂直的判定與性質(zhì) 思考 判斷或證明線面 線線平行或垂直的常用方法有哪些 例1 2018全國 文19 如圖 在三棱錐P ABC中 AB BC PA PB PC AC 4 O為AC的中點 1 證明 PO 平面ABC 2 若點M在棱BC上 且MC 2MB 求點C到平面POM的距離 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 題后反思1 解決此類問題要注意線線平行 垂直 線面平行 垂直 與面面平行 垂直 的相互轉(zhuǎn)化 在解決線線平行 線面平行問題時 若題目中已出現(xiàn)了中點 可考慮在圖形中再取中點 構(gòu)成中位線進行證明 2 要證線面平行 先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行 或找一個經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面 找出交線 證明兩線平行 3 要證線線平行 可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行 4 要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓(xùn)練1如圖 菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O 點E F分別在AD CD上 AE CF EF交BD于點H 將 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 證明 AC HD 2 若AB 5 AC 6 求五棱錐D ABCFE的體積 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 面面平行或垂直的判定與性質(zhì) 思考 判定面面平行或垂直有哪些基本方法 例2如圖 在四棱錐P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 證明 平面PAB 平面PAD 2 若PA PD AB DC APD 90 且四棱錐P ABCD的體積為 求該四棱錐的側(cè)面積 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 證明由已知 BAP CDP 90 得AB AP CD PD 由于AB CD 故AB PD 從而AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 解在平面PAD內(nèi)作PE AD 垂足為E 由 1 知 AB 平面PAD 故AB PE 可得PE 平面ABCD 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 題后反思1 判定面面平行的四個方法 1 利用定義 即判斷兩個平面沒有公共點 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一條直線的兩平面平行 4 利用平面平行的傳遞性 即兩個平面同時平行于第三個平面 則這兩個平面平行 2 面面垂直的證明方法 1 用面面垂直的判定定理 即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 2 用面面垂直的定義 即證明兩個平面所成的二面角是直二面角 3 從解題方法上說 由于線線平行 垂直 線面平行 垂直 面面平行 垂直 之間可以相互轉(zhuǎn)化 因此整個解題過程始終沿著線線平行 垂直 線面平行 垂直 面面平行 垂直 的轉(zhuǎn)化途徑進行 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓(xùn)練2 2018全國 文18 如圖 在平行四邊形ABCM中 AB AC 3 ACM 90 以AC為折痕將 ACM折起 使點M到達點D的位置 且AB DA 1 證明 平面ACD 平面ABC 2 Q為線段AD上一點 P為線段BC上一點 且BP DQ DA 求三棱錐Q ABP的體積 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 平行 垂直關(guān)系及體積中的探索性問題 思考 解決探索性問題的基本方法有哪些 例3 2018全國 文19 如圖 矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直 M是上異于C D的點 1 證明 平面AMD 平面BMC 2 在線段AM上是否存在點P 使得MC 平面PBD 說明理由 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 證明由題設(shè)知 平面CMD 平面ABCD 交線為CD 因為BC CD BC 平面ABCD 所以BC 平面CMD 故BC DM 因為M為上異于C D的點 且DC為直徑 所以DM CM 又BC CM C 所以DM 平面BMC 而DM 平面AMD 故平面AMD 平面BMC 2 解當P為AM的中點時 MC 平面PBD 證明如下 如圖 連接AC交BD于點O 因為ABCD為矩形 所以O(shè)為AC中點 連接OP 因為P為AM中點 所以MC OP MC 平面PBD OP 平面PBD 所以MC 平面PBD 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 對命題條件的探索的三種途徑 1 先猜后證 即先觀察與嘗試給出條件再證明 2 先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件 再證明充分性 3 將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 探索出命題成立的條件 2 對命題結(jié)論的探索方法 從條件出發(fā) 探索出要求的結(jié)論是什么 對于探索結(jié)論是否存在 求解時常假設(shè)結(jié)論存在 再尋找與條件相容或者矛盾的結(jié)論 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓(xùn)練3如圖 在直角梯形ABCD中 AB CD AD AB CD 2AB 4 AD E為CD的中點 將 BCE沿BE折起 使得CO DE 其中點O在線段DE內(nèi) 1 求證 CO 平面ABED 2 求當 CEO 記為 多大時 三棱錐C AOE的體積最大 最大值為多少 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 證明在直角梯形ABCD中 CD 2AB E為CD的中點 則AB DE 又AB DE AD AB 知BE CD 在四棱錐C ABED中 BE DE BE CE CE DE E CE DE 平面CDE 則BE 平面CDE 因為CO 平面CDE 所以BE CO 又CO DE 且BE DE是平面ABED內(nèi)兩條相交直線 故CO 平面ABED 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 空間直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化 3 線面 線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用 依據(jù)線面 面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵 證明面面平行主要依據(jù)判定定理 證明面面垂直時 關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個平面垂直 若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線 高線等方法解決 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E為棱CD的中點 則 A A1E DC1B A1E BDC A1E BC1D A1E AC C 解析連接B1C BC1 A1E 則B1C BC1 CD 平面BB1C1C BC1 平面BB1C1C CD BC1 B1C CD C BC1 平面A1B1CD A1E 平面A1B1CD A1E BC1 故選C 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 已知l m n是三條不同的直線 是不同的平面 則 的一個充分條件是 A l m 且l mB l m n 且l m l nC m n m n 且l mD l l m 且m D 解析對于A l m 且l m 如圖 不垂直 對于B l m n 且l m l n 如圖 不垂直 對于C m n m n 且l m 直線l沒有確定 則 的關(guān)系不能確定 對于D l l m 且m 則必有l(wèi) 根據(jù)面面垂直的判定定理知 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各邊都相等 M是PC上的一動點 當點M滿足時 平面MBD 平面PCD 只要填寫一個你認為正確的條件即可 DM PC 或BM PC 解析連接AC 由PA BD AC BD可得BD 平面PAC 所以BD PC 所以當DM PC 或BM PC 時 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 所以平面MBD 平面PCD 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 4 如圖 在四面體ABCD中 ABC是正三角形 AD CD 1 證明 AC BD 2 已知 ACD是直角三角形 AB BD 若E為棱BD上與D不重合的點 且AE EC 求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比 1 證明取AC的中點O 連接DO BO 因為AD CD 所以AC DO 又因為 ABC是正三角形 所以AC BO 從而AC 平面DOB 故AC BD 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 解連接EO 由 1 及題設(shè)知 ADC 90 所以DO AO 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90