6 3直線與圓錐曲線 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 思考 怎樣用代數(shù)的方法判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1已知直線l kx y 2 0 雙曲線C x2 4y2 4 當(dāng)k為何值時(shí) 1 l與C無公共點(diǎn) 2 l與C有唯一公共點(diǎn) 3 l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn) 答案 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思設(shè)直線l Ax By C 0 圓錐曲線C f x y 0 由消去y得ax2 bx c 0 也可消去x 若a 0 b2 4ac 0 相交 0 相離 0 相切 若a 0 得到一個(gè)一次方程 1 C為雙曲線 則l與雙曲線的漸近線平行 2 C為拋物線 則l與拋物線的對(duì)稱軸平行 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 2018全國 文20 設(shè)拋物線C y2 2x 點(diǎn)A 2 0 B 2 0 過點(diǎn)A的直線l與C交于M N兩點(diǎn) 1 當(dāng)l與x軸垂直時(shí) 求直線BM的方程 2 證明 ABM ABN 1 解當(dāng)l與x軸垂直時(shí) l的方程為x 2 可得M的坐標(biāo)為 2 2 或 2 2 所以直線BM的方程為y x 1或y x 1 2 證明當(dāng)l與x軸垂直時(shí) AB為MN的垂直平分線 所以 ABM ABN 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí) 設(shè)l的方程為y k x 2 k 0 M x1 y1 N x2 y2 則x1 0 x2 0 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 圓錐曲線中的定值 定點(diǎn)問題 思考 求解圓錐曲線中的定值 定點(diǎn)問題的基本思想是什么 例2在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線y x2 mx 2與x軸交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 1 當(dāng)m變化時(shí) 解答下列問題 1 能否出現(xiàn)AC BC的情況 說明理由 2 證明過A B C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值 1 解不能出現(xiàn)AC BC的情況 理由如下 設(shè)A x1 0 B x2 0 則x1 x2滿足x2 mx 2 0 所以x1x2 2 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 1 故AC的斜率與BC的斜率之積為所以不能出現(xiàn)AC BC的情況 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 即過A B C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思1 求解定點(diǎn)和定值問題的基本思想是一致的 定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān) 定點(diǎn)問題是求解的一個(gè)點(diǎn) 或幾個(gè)點(diǎn) 的坐標(biāo) 使得方程的成立與參數(shù)值無關(guān) 解這類試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù) 參數(shù)可能是直線的斜率 截距 也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等 使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量 再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo) 當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí) 在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系 把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決 2 證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程 根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x y的方程組 以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn) 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 1 求橢圓C的方程 2 過動(dòng)點(diǎn)M 0 m m 0 的直線交x軸于點(diǎn)N 交C于點(diǎn)A P P在第一象限 且M是線段PN的中點(diǎn) 過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q 延長QM交C于點(diǎn)B 設(shè)直線PM QM的斜率分別為k k 證明為定值 求直線AB的斜率的最小值 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 圓錐曲線中的參數(shù)范圍與最值問題 思考 求解范圍 最值問題的基本解題思想是什么 例3 1 求直線AP斜率的取值范圍 2 求 PA PQ 的最大值 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 所以 PA PQ k 1 k 1 3 令f k k 1 k 1 3 因?yàn)閒 k 4k 2 k 1 2 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思范圍 最值問題的基本解題思想是建立求解目標(biāo)與其他變量的關(guān)系 不等關(guān)系 函數(shù)關(guān)系等 通過其他變量表達(dá)求解目標(biāo) 然后通過解不等式 求函數(shù)值域 最值 等方法確定求解目標(biāo)的取值范圍和最值 在解題時(shí)要注意其他約束條件對(duì)求解目標(biāo)的影響 如直線與曲線交于不同兩點(diǎn)時(shí)對(duì)直線方程中參數(shù)的約束 圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍等 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知點(diǎn)E m 0 為拋物線y2 4x內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn) 過E作斜率分別為k1 k2的兩條直線交拋物線于點(diǎn)A B C D 且M N分別是AB CD的中點(diǎn) 1 若m 1 k1k2 1 求三角形EMN面積的最小值 2 若k1 k2 1 求證 直線MN過定點(diǎn) 1 解當(dāng)m 1時(shí) E為拋物線y2 4x的焦點(diǎn) k1k2 1 AB CD 設(shè)AB方程為y k1 x 1 A x1 y1 B x2 y2 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 圓錐曲線中的探索問題 思考 如何求解圓錐曲線中的探索問題 例4已知橢圓C a b 0 的離心率為 點(diǎn)P 0 1 和點(diǎn)A m n m 0 都在橢圓C上 直線PA交x軸于點(diǎn)M 1 求橢圓C的方程 并求點(diǎn)M的坐標(biāo) 用m n表示 2 設(shè)O為原點(diǎn) 點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱 直線PB交x軸于點(diǎn)N 問 y軸上是否存在點(diǎn)Q 使得 OQM ONQ 若存在 求點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題 往往是先假設(shè)所求的元素存在 然后再推理論證 檢驗(yàn)說明假設(shè)是否正確 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 1 求橢圓C的方程 2 AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦 不經(jīng)過點(diǎn)P 設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M 記PA PB PM的斜率分別為k1 k2 k3 問 是否存在常數(shù) 使得k1 k2 k3 若存在 求 的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有 1 從方程的觀點(diǎn)出發(fā) 利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論 這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ) 要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計(jì)算 并同時(shí)注意在適當(dāng)情況下利用圖形的平面幾何性質(zhì) 2 以向量為工具 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn) 弦長 角度相關(guān)的問題 2 定值問題是解析幾何中的一種常見問題 基本的求解思想是 先用變量表示所需證明的不變量 然后通過推導(dǎo)和已知條件 消去變量 得到定值 即解決定值問題首先是求解非定值問題 即變量問題 最后才是定值問題 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 求取值范圍的問題時(shí) 首先要找到產(chǎn)生范圍的幾個(gè)因素 1 直線與曲線相交 判別式 2 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍 3 題目中給出的限制條件 其次要建立結(jié)論中的量與這些范圍中的因素的關(guān)系 最后利用函數(shù)或不等式求變量的取值范圍 4 解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法 幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系 通過平面幾何和解析幾何的知識(shí)加以解決 如拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和 光線反射問題等 代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)或某兩個(gè)變量的函數(shù) 通過求解函數(shù)的最值 普通方法 基本不等式方法 導(dǎo)數(shù)方法等 解決 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 5 連接圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦 求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立 求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo) 然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求 另外一種求法是若直線的斜率為k 被圓錐曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 則弦長公式為 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 D 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 A 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 解析設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1 如圖 由雙曲線的定義知 PF 2a PF1 APF的周長為 PA PF AF PA 2a PF1 AF PA PF1 2a AF 由于2a AF 是定值 要使 APF的周長最小 則應(yīng)使 PA PF1 最小 即P A F1三點(diǎn)共線 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 求橢圓的方程 2 設(shè)直線l y kx k 0 與橢圓交于P Q兩點(diǎn) l與直線AB交于點(diǎn)M 且點(diǎn)P M均在第四象限 若 BPM的面積是 BPQ面積的2倍 求k的值 規(guī)律總結(jié) 拓展演練