四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 高考命題聚焦 思想方法詮釋 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位 數(shù)學問題的解決總離不開轉(zhuǎn)化與化歸 如未知向已知的轉(zhuǎn)化 新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化 復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化 不同數(shù)學問題之間的互相轉(zhuǎn)化 實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化等 各種轉(zhuǎn)化具體解題方法都是化歸的手段 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法滲透到所有的數(shù)學解題過程中 高考命題聚焦 思想方法詮釋 1 轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時 采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化 進而得到解決的一種方法 一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題 將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題 將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題 2 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 1 在三角函數(shù)和解三角形中 主要的方法有公式的 三用 順用 逆用 變形用 角度的轉(zhuǎn)化 函數(shù)的轉(zhuǎn)化 通過正 余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 2 換元法是將一個復(fù)雜的或陌生的函數(shù) 方程 不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù) 方程 不等式的一種重要的方法 高考命題聚焦 思想方法詮釋 3 在解決平面向量與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何等知識的交匯題目時 常將平面向量語言與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化 4 在解決數(shù)列問題時 常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解 5 在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時 常將函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 切線問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f x 構(gòu)成的方程 不等式問題求解 6 在解決解析幾何 立體幾何問題時 常常在數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)化 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 特殊與一般的轉(zhuǎn)化 思考 如何實現(xiàn)由特殊到一般的轉(zhuǎn)化 例1 其中e為自然常數(shù) 的大小關(guān)系是 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思1 當問題難以入手時 應(yīng)先對特殊情況或簡單情形進行觀察 分析 發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素 再推廣到一般情形 以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡 這就是特殊化的化歸策略 2 數(shù)學題目有的具有一般性 有的具有特殊性 解題時 有時需要把一般問題化歸為特殊問題 有時需要把特殊問題化歸為一般問題 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練1在定圓C x2 y2 4內(nèi)過點P 1 1 作兩條互相垂直的直線與C分別交于A B和M N 則的取值范圍是 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題的等價轉(zhuǎn)化 思考 在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想去解決問題時應(yīng)遵循怎樣的原則 例2在 ABC中 角A B C所對的邊分別為a b c 向量q 2a 1 p 2b c cosC 且q p 1 求sinA的值 2 求三角函數(shù)式的取值范圍 解 1 p q 2acosC 2b c 根據(jù)正弦定理 得2sinAcosC 2sinB sinC 又sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時 沒有一個統(tǒng)一的模式 它可以在數(shù)與數(shù) 形與形 數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換 在解題過程中進行化歸與轉(zhuǎn)化時 要遵循以下五項基本原則 1 化繁為簡的原則 2 化生為熟的原則 3 等價性原則 4 正難則反的原則 5 形象具體化原則 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練2設(shè)a b 0 a b 5 則的最大值為 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 常量與變量的轉(zhuǎn)化 思考 怎樣的情況下常常進行常量與變量之間的轉(zhuǎn)化 例3設(shè)f x 是定義在R上的單調(diào)增函數(shù) 若f 1 ax x2 f 2 a 對任意a 1 1 恒成立 則x的取值范圍為 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思在處理多變量的數(shù)學問題時 當常量 或參數(shù) 在某一范圍內(nèi)取值 求變量x的范圍時 經(jīng)常進行常量與變量之間角色的轉(zhuǎn)化 即可以選取其中的常數(shù) 或參數(shù) 將其看作變量 而把變量看作常量 從而達到簡化運算的目的 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練3對于滿足0 p 4的所有實數(shù)p 使不等式x2 px 4x p 3成立的x的取值范圍是 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 函數(shù) 方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化 思考 怎樣的情況下常常要進行函數(shù) 方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化 例4設(shè)函數(shù)f x g x 的定義域均為R 且f x 是奇函數(shù) g x 是偶函數(shù) f x g x ex 其中e為自然對數(shù)的底數(shù) 1 求f x g x 的解析式 并證明 當x 0時 f x 0 g x 1 2 設(shè)a 0 b 1 證明 當x 0時 ag x 1 a bg x 1 b 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 設(shè)函數(shù)h x f x cxg x 1 c x 由 有h x g x cg x cxf x 1 c 1 c g x 1 cxf x 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 當x 0時 若c 0 由 得h x 0 故h x 在 0 上為增函數(shù) 從而h x h 0 0 即f x cxg x 1 c x 故 成立 若c 1 由 得h x 0 故h x 在區(qū)間 0 上為減函數(shù) 從而h x h 0 0 即f x cxg x 1 c x 故 成立 綜合 得ag x 1 a bg x 1 b 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思函數(shù) 方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系 解決方程 不等式的問題需要函數(shù)幫助 解決函數(shù)的問題需要方程 不等式的幫助 因此借助于函數(shù) 方程 不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡 常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題 將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題 兩個函數(shù)圖象的交點問題等 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練4已知函數(shù)f x x2 alnx 1 函數(shù)F x a 1 1 若f x 在 3 5 上是單調(diào)遞增函數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍 2 當a 2 x 0 且x 1時 比較與F x 的大小 解 1 f x x2 alnx 1在 3 5 上是單調(diào)遞增函數(shù) f x 2x 0在 3 5 上恒成立 a 2x2在 3 5 上恒成立 y 2x2在 3 5 上的最小值為18 a 18 故所求a的取值范圍為 18 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 在將問題進行化歸與轉(zhuǎn)化時 一般應(yīng)遵循以下幾種原則 1 熟悉化原則 將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題 2 簡單化原則 將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題 3 直觀化原則 將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題 如數(shù)形結(jié)合思想 立體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化 4 正難則反原則 若問題直接求解困難時 可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型 1 正與反 一般與特殊的轉(zhuǎn)化 即正難則反 特殊化原則 2 常量與變量的轉(zhuǎn)化 即在處理多元問題時 選取其中的常量 或參數(shù) 當 主元 其他的變量看作常量 3 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 即利用對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形性質(zhì) 也可利用圖形直觀提供思路 直接地反映函數(shù)或方程中變量之間的關(guān)系 4 數(shù)學各分支之間的轉(zhuǎn)化 如利用向量方法解幾何問題 用解析幾何方法處理平面幾何 代數(shù) 三角問題等 5 相等與不等之間的轉(zhuǎn)化 6 實際問題與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 A 解析由A B A 得B A 則m 3或 即m 3或m 0 m 1 根據(jù)集合元素的互異性可知 m 1 故m 0或3 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 2018天津 文5 已知 則a b c的大小關(guān)系為 A a b cB b a cC c b aD c a b D 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 已知函數(shù)f x x a ex在區(qū)間 2 3 內(nèi)沒有極值點 則實數(shù)a的取值范圍是 A 3 4 B 3 4 C 3 D 4 A 解析f x x 1 a ex 依題意 x 1 a 0或x 1 a 0在區(qū)間 2 3 內(nèi)恒成立 即a x 1或a x 1 x 1 3 4 a 3或a 4 故選A 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 4 若關(guān)于x的不等式m x 1 x2 x的解集為 x 1 x 2 則實數(shù)m的值為 2 解析 關(guān)于x的不等式m x 1 x2 x的解集為 x 1 x 2 方程m x 1 x2 x 即x2 m 1 x m 0的兩根為1 2