二 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧 在高考試題中 數(shù)形結(jié)合思想主要用于解選擇題和填空題 有直觀 簡單 快捷等特點 而在解答題中 考慮到推理論證的嚴密性 圖形只是輔助手段 最終要用 數(shù) 寫出完整的解答過程 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 應(yīng)用一利用數(shù)形結(jié)合求與方程根有關(guān)的問題例1 2018山東師大附中一模 文12 函數(shù)f x 是定義在R上的偶函數(shù) 且滿足f x 2 f x 當x 0 1 時 f x 2x 若在區(qū)間 2 3 上方程ax 2a f x 0恰有四個不相等的實數(shù)根 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 D 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 解析 若在區(qū)間 2 3 上方程ax 2a f x 0恰有四個不相等的實數(shù)根 等價于f x a x 2 有四個不相等的實數(shù)根 即函數(shù)y f x 和g x a x 2 有四個不同的交點 f x 2 f x 函數(shù)f x 的周期為2 當 1 x 0時 0 x 1 此時f x 2x f x 是定義在R上的偶函數(shù) f x 2x f x 即f x 2x 1 x 0 作出函數(shù)f x 和g x 的圖象 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 思維升華討論方程的解 或函數(shù)的零點 的個數(shù)一般可構(gòu)造兩個函數(shù) 轉(zhuǎn)化為討論兩曲線 或曲線與直線等 的交點個數(shù) 其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式 不熟悉時 需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù) 再在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象 圖象的交點個數(shù)即為方程解 或函數(shù)零點 的個數(shù) 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 突破訓練1定義在R上的奇函數(shù)f x 滿足f x 2 f 2 x 當x 0 2 時 f x 4x2 8x 若在區(qū)間 a b 上 存在m m 3 個不同整數(shù)xi i 1 2 m 滿足 72 則b a的最小值為 A 15B 16C 17D 18 答案 解析 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 應(yīng)用二利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍及解不等式例2 2018河南鄭州一模 理14 已知函數(shù)若不等式f x 5 mx恒成立 則實數(shù)m的取值范圍是 答案 解析 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 思維升華在解含有參數(shù)的不等式時 由于涉及參數(shù) 往往需要討論 導致演算過程煩瑣冗長 如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系 那么利用數(shù)形結(jié)合的方法 問題將會簡練地得到解決 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 答案 解析 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 應(yīng)用三數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例3已知圓C x 3 2 y 4 2 1和兩點A m 0 B m 0 m 0 若圓C上存在點P 使得 APB 90 則實數(shù)m的最大值為 A 7B 6C 5D 4 答案 解析 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 思維升華1 如果等式 代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征 那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題 即所謂的幾何法求解 比較常見的有 2 解析幾何中的一些范圍及最值問題 常結(jié)合幾何圖形的性質(zhì) 使問題得到簡便快捷的解決 應(yīng)用一 應(yīng)用二 應(yīng)用三 突破訓練3如圖 過拋物線y2 2px p 0 的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 則拋物線的方程為 答案 解析 方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面 1 解方程或解不等式 2 含參數(shù)的方程或不等式的討論 常涉及一元二次方程的判別式 根與系數(shù)的關(guān)系 區(qū)間根 區(qū)間上恒成立等知識的應(yīng)用 3 需要轉(zhuǎn)化為方程的討論 如曲線的位置關(guān)系等 4 構(gòu)造方程或不等式求解問題