第4講從審題中尋找解題思路 審題亦即提取有效信息 挖掘隱含信息 提煉關鍵信息 條件是題目的 泉眼 為考察學生的觀察 理解 分析 推理等能力 高考試題往往變換概念的表述形式 精簡試題從條件到結論的中間環(huán)節(jié) 透析試題的條件之間的聯(lián)系 隱去問題涉及的數(shù)學思想及背景 如何科學地審題是同學們最需要掌握的基本技能 事實上 審題能力的培養(yǎng)并未引起應有的重視 很多同學熱衷于題型的總結與解題方法和技巧的訓練 把數(shù)學學習等同于解題訓練 一味地機械模仿導致應變能力不強 遇到陌生的問題往往束手無策 致使解題失誤或陷入誤區(qū) 審題和解題是解答數(shù)學試題的重要兩步 其中 審題是解題的前提 詳細全面地審題為順利解題掃除大部分障礙 正確把握數(shù)學試題中的已知條件和所求 從題目關鍵詞語中挖掘隱含條件 啟發(fā)解題思路 最短時間內理解條件和結論所包含的詳細信息是保障解題效率與解題質量的必需條件 解題作為審題活動的升華 是全面解答數(shù)學試題的核心 怎樣才算審清題意了呢 主要是弄清題目已經告訴了什么信息 需要我們去做什么 從題目本身獲取 如何解這道題 的邏輯起點 推理目標以及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息 試題的條件和結論是兩個信息源 為了從中獲取盡可能多的信息 我們要字斟句酌地分析條件 分析結論 分析條件與結論之間的關系 常常還要輔以圖形或記號 以求手段與目標的統(tǒng)一 一 二 三 四 五 六 七 一 審清條件信息審視條件一般包括 挖掘隱含信息 洞察結構特征 洞悉圖形趨勢 研讀圖表數(shù)據 等幾方面 審題時要避開過去熟悉的同類題目的影響 看似相同 就按過去同類型題目進行求解 要審出同還是不同 不能似是而非 一 二 三 四 五 六 七 例1在 ABC中 D為邊BC上一點 BD DC ADB 120 AD 2 若 ADC的面積為3 則 BAC 答案60 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 審題指導一先作出草圖了解題意 由 ADC的面積為3 DC DB BC 在 ADC中 由余弦定理得AC 在 ABD中 由余弦定理得AB 在 ABC中 由余弦定理得 BAC 審題指導二考慮已知的條件 ADB 120 AD 2 S ADC 3 作AE BC 在Rt DAE中易得AE DE 由S ADC易得DC 從而得BC 分別在Rt AEC Rt AEB中由勾股定理易得AC AB 這樣由余弦定理得 BAC 審題指導三在審題指導二得出AE DE BE后 如能及時審視出AE BE 則有 EAB 45 在Rt AEC中易求tan EAC 從而利用tan BAC tan 45 EAC 得出 BAC 一 二 三 四 五 六 七 二 審條件中的隱含有的數(shù)學試題條件并不明顯 審題時要注意挖掘隱含條件和信息 對條件進行再認識 再加工 只有這樣 方可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯誤 要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息 關注問題中易于疏忽的特殊情形 可能情形 相近概念之間的差異 要清晰定理成立 公式存在的前提 一 二 三 四 五 六 七 例2 1 若鈍角三角形三內角的度數(shù)成等差數(shù)列 且最大邊長與最小邊長的比值為m 則m的取值范圍是 A 1 2 B 2 C 3 D 3 2 設點P在曲線y ex上 點Q在曲線y ln 2x 上 則 PQ 的最小值為 答案 1 B 2 B 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 三 審條件中的結構特征高考數(shù)學試題中的已知條件 很多都是以數(shù)式的結構形式進行搭配和呈現(xiàn)的 在這些問題的數(shù)式結構中 往往隱含著某種特殊關系 我們不僅要認真審視數(shù)式的淺層結構特征 還要對數(shù)式結構進行深入的分析 加工 轉化 努力弄清其深層結構特征 在這個逐步清晰的過程中 力爭尋找到突破問題的方案 一 二 三 四 五 六 七 例3已知 an 是公差為3的等差數(shù)列 數(shù)列 bn 滿足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通項公式 2 求 bn 的前n項和 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 四 審圖形特點尋簡捷在一些高考數(shù)學試題中 問題的條件往往是以圖形的形式給出 或將條件隱含在圖形之中 因此在審題時 最好畫一個圖 并在圖中標出必要的條件和數(shù)據 畫圖的過程是一個熟悉問題的過程 是一個對已知條件進行再認識的過程 不僅如此 還要善于觀察圖形 洞悉圖形所隱含的特殊的關系 數(shù)值的特點 變化的趨勢 抓住圖形的特征 利用圖形所提供的信息來解決問題 一 二 三 四 五 六 七 例4函數(shù)y 2x2 e x 在 2 2 的圖象大致為 一 二 三 四 五 六 七 答案D解析特殊值驗證法 取x 2 則y 2 4 e2 8 2 7182 0 6 0 1 排除A B 當0 x 2時 y 2x2 ex 則y 4x ex 由函數(shù)零點的判定可知 y 4x ex在 0 2 內存在零點 即函數(shù)y 2x2 ex在 0 2 內有極值點 排除C 故選D 一 二 三 四 五 六 七 審題指導這類題型的最佳解法應為結合函數(shù)的性質 選取特殊點進行排除 y f x 2x2 e x 為偶函數(shù) 當x 0時 f x 4x ex 作y 4x與y ex的圖象如圖所示 故存在實數(shù)x0 0 1 使得f x0 0 則當x 0 x0 時 f x0 0 所以f x 在 0 x0 內單調遞減 在 x0 2 內單調遞增 又f 2 8 e2 8 7 4 0 6 故選D 一 二 三 四 五 六 七 五 審圖表數(shù)據找關聯(lián)數(shù)據分析素養(yǎng)是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一 此類問題關注現(xiàn)實生活 其試題中的圖表 數(shù)據隱藏著豐富的數(shù)據和信息及其內在聯(lián)系 也往往暗示著解決問題的目標和方向 要求考生發(fā)現(xiàn)生活中的問題 學著運用課堂上學到的知識來分析 解決 在審題時 要認真觀察分析圖表 數(shù)據的特征和規(guī)律 找到其中的內在聯(lián)系 為解決問題提供有效的途徑 一 二 三 四 五 六 七 例5某公司計劃購買1臺機器 該種機器使用三年后即被淘汰 機器有一易損零件 在購進機器時 可以額外購買這種零件作為備件 每個200元 在機器使用期間 如果備件不足再購買 則每個500元 現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件 為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù) 得下面條形圖 記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數(shù) y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用 單位 元 n表示購機的同時購買的易損零件數(shù) 一 二 三 四 五 六 七 1 若n 19 求y與x的函數(shù)解析式 2 若要求 需更換的易損零件數(shù)不大于n 的頻率不小于0 5 求n的最小值 3 假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件 或每臺都購買20個易損零件 分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù) 以此作為決策依據 購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件 一 二 三 四 五 六 七 解 1 當x 19時 y 3800 當x 19時 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y與x的函數(shù)解析式為 2 由條形圖知 需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0 46 不大于19的頻率為0 7 故n的最小值為19 一 二 三 四 五 六 七 3 若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件 則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800 20臺的費用為4300 10臺的費用為4800 因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 3800 70 4300 20 4800 10 4000 若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件 則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000 10臺的費用為4500 因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 4000 90 4500 10 4050 比較兩個平均數(shù)可知 購買1臺機器的同時應購買19個易損零件 一 二 三 四 五 六 七 審題指導把統(tǒng)計與函數(shù)結合在一起進行考查 有綜合性但難度不大 1 當n 19時 探求y與x的函數(shù)解析式 由于機器使用前額外購買這種零件的價格與機器使用期間再購買這種零件的價格不同 需對1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數(shù)x與購機的同時購買的易損零件數(shù)n 19加以比較 自然應用分類討論思想對x 19與x 19 分別探求y與x的函數(shù)解析式 2 本題的統(tǒng)計圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖 而是統(tǒng)計圖表中的條形圖 3 許多考生沒有讀懂題意 本問是判斷購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件 而判斷的決策依據是 這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù) 為此需計算兩種方案時的平均數(shù) 每一種方案 如何求解其平均數(shù)呢 自然借助于條形圖 一 二 三 四 五 六 七 六 審結論善轉換結論是解題的最終目標 解決問題的思維在很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的 審視結論是要探索已知條件和結論間的聯(lián)系與轉化規(guī)律 可以從結論中捕捉解題信息 確定解題方向 有些問題的結論看似不明確或不利于解決 我們可以轉換角度 達到解決問題的目的 一 二 三 四 五 六 七 例6如圖 已知正三棱錐P ABC的側面是直角三角形 PA 6 頂點P在平面ABC內的正投影為點D D在平面PAB內的正投影為點E 連接PE并延長交AB于點G 1 證明G是AB的中點 2 在題圖中作出點E在平面PAC內的正投影F 說明作法及理由 并求四面體PDEF的體積 一 二 三 四 五 六 七 解 1 因為P在平面ABC內的正投影為D 所以AB PD 因為D在平面PAB內的正投影為E 所以AB DE 所以AB 平面PED 故AB PG 又由已知可得 PA PB 從而G是AB的中點 2 在平面PAB內 過點E作PB的平行線交PA于點F F即為E在平面PAC內的正投影 一 二 三 四 五 六 七 理由如下 由已知可得PB PA PB PC 又EF PB 所以EF PA EF PC 因此EF 平面PAC 即點F為E在平面PAC內的正投影 連接CG 因為P在平面ABC內的正投影為D 所以D是正三角形ABC的中心 由 1 知 G是AB的中點 所以D在CG上 一 二 三 四 五 六 七 審題指導 1 本題條件中出現(xiàn)正三棱錐P ABC的頂點P在平面ABC內的正投影為點D 可得AB PD 又D在平面PAB內的正投影為點E 則AB DE AB 平面PED 而待證G是AB的中點 由于PA PB 只需證明AB PG 一 二 三 四 五 六 七 七 審已知與結論建聯(lián)系高考試題的條件和結論是兩個信息源 其條件和結論 很多都是以數(shù)式的結構形式進行搭配和呈現(xiàn)的 弄清問題不僅要弄清條件 弄清結論 而且還要弄清條件與所求結論的相互聯(lián)系 以求手段與目標的統(tǒng)一 一 二 三 四 五 六 七 一 二 三 四 五 六 七 1 試題的條件和結論是解題的兩個信息源 題目的條件對于得出結論是充分的 解題的鑰匙就放在題目的條件里 其中的許多信息常常是通過語言文字 公式符號以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們 所以 審題要逐字逐句看清楚 力求從語法結構 邏輯關系 數(shù)字含義 條件特征 答題形式 數(shù)據聯(lián)系等各方面真正弄懂題意 只有細致審題才能挖掘出來 讓其 現(xiàn)出原形 避免發(fā)生會而不對 對而不全的現(xiàn)象 欲速則不達 磨刀不誤砍柴工 審題不要怕慢 當然這有待于平時的審題訓練 2 審題決定成敗 審題是解題的一個重要步驟 通過審題收集信息 加工信息 熟悉題目并深入到題目內部去思考 去分析 我們就會找到問題解決的突破口 審題是通向成功的起點 也是成功的歸宿