2 4 3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及參數(shù)范圍 考向一 考向二 考向三 判斷 證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)解題策略一應(yīng)用單調(diào)性 零點(diǎn)存在性定理 數(shù)形結(jié)合判斷例1設(shè)函數(shù)f x e2x alnx 1 討論f x 的導(dǎo)函數(shù)f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 難點(diǎn)突破 1 討論f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)要依據(jù)f x 的單調(diào)性 應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 2 證明 由 1 可設(shè)f x 在 0 的唯一零點(diǎn)為x0 當(dāng)x 0 x0 時(shí) f x 0 故f x 在 0 x0 單調(diào)遞減 在 x0 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x x0時(shí) f x 取得最小值 最小值為f x0 解題心得研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況 可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 最大值 最小值 變化趨勢(shì)等 并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f x x2 3x 3 ex 1 試確定t的取值范圍 使得函數(shù)f x 在 2 t t 2 上為單調(diào)函數(shù) 解 1 f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0 得x 1或x 0 由f x 0 得0 x 1 所以f x 在 0 和 1 內(nèi)單調(diào)遞增 在 0 1 內(nèi)單調(diào)遞減 若使f x 在 2 t 上為單調(diào)函數(shù) 則需 2 t 0 即t的取值范圍為 2 0 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題策略二分類討論法例2已知函數(shù)f x x3 ax g x lnx 1 當(dāng)a為何值時(shí) x軸為曲線y f x 的切線 2 用min m n 表示m n中的最小值 設(shè)函數(shù)h x min f x g x x 0 討論h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 難點(diǎn)突破 1 設(shè)切點(diǎn) x0 0 依題意f x0 0 f x0 0 得關(guān)于a x0的方程組解之 2 為確定出h x 對(duì)自變量x 0分類討論 確定出h x 后對(duì)參數(shù)a分類討論h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定要依據(jù)h x 的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理 考向一 考向二 考向三 解 1 設(shè)曲線y f x 與x軸相切于點(diǎn) x0 0 則f x0 0 f x0 0 2 當(dāng)x 1 時(shí) g x lnx 0 從而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)x 0 1 時(shí) g x lnx 0 所以只需考慮f x 在 0 1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 考向一 考向二 考向三 若a 3或a 0 則f x 3x2 a在 0 1 無(wú)零點(diǎn) 故f x 在 0 1 單調(diào) 考向一 考向二 考向三 解題心得1 如果函數(shù)中沒(méi)有參數(shù) 一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn) 判斷極值點(diǎn)大于0小于0的情況 進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 如果函數(shù)中含有參數(shù) 往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷 這時(shí)先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類 再判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 如果分類也不好判斷 那么需要對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo) 在判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí) 也可能需要分類 考向一 考向二 考向三 1 當(dāng)a 1時(shí) 求函數(shù)f x 的最小值 2 當(dāng)a 1時(shí) 討論函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?x x 0 考向一 考向二 考向三 當(dāng)a 0時(shí) 若x 0 1 則f x 0 f x 為增函數(shù) 由于x 0 從右側(cè)趨近0 時(shí) f x x 時(shí) f x 所以f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 考向一 考向二 考向三 當(dāng)00 f x 為增函數(shù) x a 1 時(shí) f x 0 f x 為增函數(shù) 所以f x 在x a處取極大值 f x 在x 1處取極小值 當(dāng)0 a 1時(shí) f a 0 即在x 0 1 時(shí) f x 0 而f x 在x 1 時(shí)為增函數(shù) 且x 時(shí) f x 所以此時(shí)f x 有一個(gè)零點(diǎn) 所以f x 為增函數(shù) 且x 0 從右側(cè)趨近于0 時(shí) f x x 時(shí) f x 所以f x 有一個(gè)零點(diǎn) 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍解題策略一最小值法 1 討論f x 的增減性 2 若g x f x mx在 1 上沒(méi)有零點(diǎn) 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 難點(diǎn)突破g x 在 1 上沒(méi)有零點(diǎn) g x 0在 1 上恒成立 分離出參數(shù)m h x m h x max 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得在已知函數(shù)y f x 有幾個(gè)零點(diǎn)求f x 中參數(shù)t的值或范圍問(wèn)題 經(jīng)常從f x 中分離出參數(shù)t g x 然后用求導(dǎo)的方法求出g x 的最值 再根據(jù)題意求出參數(shù)t的值或范圍 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f x 2lnx x2 ax a R 1 當(dāng)a 2時(shí) 求f x 的圖象在x 1處的切線方程 2 若函數(shù)g x f x ax m在上有兩個(gè)零點(diǎn) 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 切線的斜率k f 1 2 則切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 當(dāng)1 x e時(shí) g x 0 故g x 在x 1處取得極大值g 1 m 1 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題策略二分類討論法例4已知函數(shù)f x ae2x a 2 ex x 1 討論f x 的單調(diào)性 2 若f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 求a的取值范圍 難點(diǎn)突破 2 由 1 得a 0及a 0時(shí)f x 的單調(diào)性 依據(jù)f x 的單調(diào)性研究其零點(diǎn) 由a 0 f x 在 單調(diào)遞減 f x 至多有一個(gè)零點(diǎn) 由a 0時(shí)f x 的單調(diào)性 易求f x 的最小值 當(dāng)f x min 0才會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn) 考向一 考向二 考向三 解 1 f x 的定義域?yàn)?f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 若a 0 則f x 0 則由f x 0得x lna 當(dāng)x lna 時(shí) f x 0 所以f x 在 lna 單調(diào)遞減 在 lna 單調(diào)遞增 2 若a 0 由 1 知 f x 至多有一個(gè)零點(diǎn) 若a 0 由 1 知 當(dāng)x lna時(shí) f x 取得最小值 即f lna 0 故f x 沒(méi)有零點(diǎn) 考向一 考向二 考向三 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 有一個(gè)零點(diǎn) 綜上 a的取值范圍為 0 1 解題心得在已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下 求參數(shù)的范圍問(wèn)題 通常采用分類討論法 依據(jù)題目中的函數(shù)解析式的構(gòu)成 將參數(shù)分類 在參數(shù)的小范圍內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意 將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起 即為所求參數(shù)范圍 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 2018全國(guó) 理21 已知函數(shù)f x ex ax2 1 若a 1 證明 當(dāng)x 0時(shí) f x 1 2 若f x 在 0 只有一個(gè)零點(diǎn) 求a 解 1 當(dāng)a 1時(shí) f x 1等價(jià)于 x2 1 e x 1 0 設(shè)函數(shù)g x x2 1 e x 1 則g x x2 2x 1 e x x 1 2e x 當(dāng)x 1時(shí) g x 0 所以g x 在 0 單調(diào)遞減 而g 0 0 故當(dāng)x 0時(shí) g x 0 即f x 1 考向一 考向二 考向三 2 設(shè)函數(shù)h x 1 ax2e x f x 在 0 只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h x 在 0 只有一個(gè)零點(diǎn) i 當(dāng)a 0時(shí) h x 0 h x 沒(méi)有零點(diǎn) ii 當(dāng)a 0時(shí) h x ax x 2 e x 當(dāng)x 0 2 時(shí) h x 0 所以h x 在 0 2 單調(diào)遞減 在 2 單調(diào)遞增 考向一 考向二 考向三 故h x 在 2 4a 有一個(gè)零點(diǎn) 因此h x 在 0 有兩個(gè)零點(diǎn) 考向一 考向二 考向三 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的證明問(wèn)題解題策略等價(jià)轉(zhuǎn)換后構(gòu)造函數(shù)證明例5設(shè)函數(shù)f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若函數(shù)F x f x g x 有兩個(gè)零點(diǎn)x1 x2 求滿足條件的最小正整數(shù)a的值 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 當(dāng)a 0時(shí) f x 0在 0 上恒成立 所以f x 單調(diào)遞增區(qū)間為 0 此時(shí)f x 無(wú)單調(diào)減區(qū)間 考向一 考向二 考向三 所以存在a0 2 3 h a0 0 當(dāng)a a0時(shí) h a 0 所以滿足條件的最小正整數(shù)a 3 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式 函數(shù)的零點(diǎn)本身就是一個(gè)條件 即零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0 證明的思路一般對(duì)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化 構(gòu)造合適的新函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探討該函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 極值情況等 再結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)解決 因?yàn)閠 0 所以m t 0 當(dāng)且僅當(dāng)t 1時(shí) m t 0 所以m t 在 0 上是增函數(shù) 又m 1 0 所以當(dāng)t 0 1 m t 0總成立 所以原題得證 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2有兩個(gè)零點(diǎn) 1 求a的取值范圍 2 設(shè)x1 x2是f x 的兩個(gè)零點(diǎn) 證明 x1 x2 2 1 解 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 若a 0 則f x x 2 ex f x 只有一個(gè)零點(diǎn) 若a 0 則當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 所以f x 在 1 內(nèi)單調(diào)遞減 在 1 內(nèi)單調(diào)遞增 考向一 考向二 考向三 若a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 故當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 因此f x 在 1 內(nèi)單調(diào)遞增 又當(dāng)x 1時(shí) f x 0 所以f x 不存在兩個(gè)零點(diǎn) 故當(dāng)x 1 ln 2a 時(shí) f x 0 因此f x 在 1 ln 2a 內(nèi)單調(diào)遞減 在 ln 2a 內(nèi)單調(diào)遞增 又當(dāng)x 1時(shí)f x 0 所以f x 不存在兩個(gè)零點(diǎn) 綜上 a的取值范圍為 0 考向一 考向二 考向三 2 證明 不妨設(shè)x1f 2 x2 即f 2 x2 1時(shí) g x 1時(shí) g x 0 從而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2