3 3 2三角變換與解三角形 考向一 考向二 考向三 正弦 余弦定理與三角形面積的綜合問題 1 求sinC的值 2 若a 7 求 ABC的面積 考向一 考向二 考向三 解題心得正弦定理和余弦定理是解三角形時(shí)用到的兩個(gè)重要定理 其作用主要是將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純邊或純角的關(guān)系 使問題得以解決 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 且滿足2acosB 2c b 1 求角A 解 1 由2acosB 2c b及正弦定理 得2sinAcosB 2sinC sinB 而sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 2cosAsinB sinB 考向一 考向二 考向三 2 ABC是等邊三角形 理由如下 考向一 考向二 考向三 例2已知在 ABC中 D是BC上的點(diǎn) AD平分 BAC ABD的面積是 ADC面積的2倍 考向一 考向二 考向三 2 因?yàn)镾 ABD S ADC BD DC 在 ABD和 ADC中 由余弦定理知AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 因?yàn)閏os ADB cos ADC 所以 2 得AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 6 由 1 知AB 2AC 所以AC 1 考向一 考向二 考向三 解題心得對(duì)于在四邊形中解三角形的問題或把一個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形來解三角形的問題 分別在兩個(gè)三角形中列出方程 組成方程組 通過加減消元或者代入消元 求出所需要的量 對(duì)于含有三角形中的多個(gè)量的已知等式 化簡(jiǎn)求不出結(jié)果 需要依據(jù)題意應(yīng)用正弦 余弦定理再列出一個(gè)等式 由此組成方程組通過消元法求解 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在 ABC中 a b c分別為角A B C的對(duì)邊 若acosB 3 bcosA 1 且A B 1 求邊c的長(zhǎng) 2 求角B的大小 解由 組成的方程組得2c2 8c 即c 4 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 正弦 余弦定理與三角變換的綜合例3在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知a b a 5 c 6 sinB 1 求b和sinA的值 解 1 在 ABC中 因?yàn)閍 b 考向一 考向二 考向三 解題心得三角形有三條邊三個(gè)角共六個(gè)元素 知道其中三個(gè) 其中至少知道一條邊 可求另外三個(gè) 若題目要求的量是含三角形內(nèi)角及常數(shù)的某種三角函數(shù)值 在解題時(shí)往往先通過正 余弦求出內(nèi)角的三角函數(shù)值再應(yīng)用和角公式及倍角公式通過三角變換求得結(jié)果 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 2018天津 理15 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知bsinA acos 1 求角B的大小 2 設(shè)a 2 c 3 求b和sin 2A B 的值 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 正弦 余弦定理與三角變換及三角形面積的綜合例4已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且滿足cos2B cos2C sin2A sinAsinB sin A B cos A B 1 求角A B C 2 若a 求三角形ABC的邊長(zhǎng)b的值及三角形ABC的面積 解 1 A B均為銳角 sin A B cos A B sinAcosB cosAsinB cosAcosB sinAsinB sinAcosB sinAsinB cosAcosB cosAsinB sinA cosB sinB cosA cosB sinB B為銳角 cosB sinB 0 考向一 考向二 考向三 在 ABC中 cos2B cos2C sin2A sinAsinB 1 sin2B 1 sin2C sin2A sinAsinB sin2C sin2B sin2A sinAsinB 解題心得在解三角形中 若已知條件是由三角形的邊及角的正弦 余弦函數(shù)構(gòu)成的 解題方法通常是通過正弦定理 余弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦 使已知條件變成了純粹的角的正弦 余弦函數(shù)關(guān)系 這樣既實(shí)現(xiàn)了消元的目的 又可利用三角變換化簡(jiǎn)已知條件 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 已知 ABC的面積為 1 求sinBsinC 2 若6cosBcosC 1 a 3 求 ABC的周長(zhǎng) 考向一 考向二 考向三