6 3統(tǒng)計與概率大題 1 統(tǒng)計圖表 1 在頻率分布直方圖中 各小矩形的面積表示相應各組的頻率 各小矩形的高 各小矩形面積之和等于1 2 莖葉圖 當數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時 用中間的數(shù)字表示十位數(shù) 兩邊的數(shù)字表示個位數(shù) 當數(shù)據(jù)是三位數(shù) 前兩位相對比較集中時 常以前兩位為莖 第三位 個位 為葉 其余類推 2 樣本的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 是指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 體現(xiàn)在頻率分布直方圖中 是指高度最高的小矩形的寬的中點的橫坐標 2 中位數(shù)是指從左往右小矩形的面積之和為0 5處的橫坐標 5 平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平 標準差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 標準差 方差越大 數(shù)據(jù)的離散程度越大 越不穩(wěn)定 3 變量間的相關關系 1 如果散點圖中的點從整體上看大致分布在一條直線的附近 那么我們說變量x和y具有線性相關關系 2 線性回歸方程 若變量x與y具有線性相關關系 有n個樣本數(shù)據(jù) 正相關 當r 0時 表示兩個變量負相關 r 越接近1 表明兩個變量相關性越強 當 r 接近0時 表明兩個變量幾乎不存在相關性 4 獨立性檢驗對于取值分別是 x1 x2 和 y1 y2 的分類變量X和Y 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是 5 概率的基本性質(zhì)及常見概率的計算 1 隨機事件的概率 0 P A 1 必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 2 若事件A B互斥 則P A B P A P B 3 若事件A B對立 則P A B P A P B 1 4 兩種常見的概率模型 古典概型的特點 有限性 等可能性 6 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P AB P A P B 7 超幾何分布中的概率 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 任取n件 其中恰有X件次品 則P X k k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 6 二項分布一般地 在n次獨立重復試驗中 事件A發(fā)生的次數(shù)為X 設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p 則P X k pkqn k 其中0 p 1 p q 1 k 0 1 2 n 稱X服從參數(shù)為n p的二項分布 記作X B n p 且E X np D X np 1 p 7 離散型隨機變量的分布列 期望 方差 1 設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 則稱下表 為離散型隨機變量X的分布列 2 E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為X的均值或數(shù)學期望 3 D X x1 E X 2 p1 x2 E X 2 p2 xi E X 2 pi xn E X 2 pn叫做隨機變量X的方差 4 均值與方差的性質(zhì) E aX b aE X b E E E D aX b a2D X 6 3 1統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 考向一 考向二 考向三 相關關系的判斷及回歸分析例1 2018全國 理18 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y 單位 億元 的折線圖 考向一 考向二 考向三 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額 建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型 根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 17 建立模型 30 4 13 5t 根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 7 建立模型 y 99 17 5t 1 分別利用這兩個模型 求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值 2 你認為用哪個模型得到的預測值更可靠 并說明理由 考向一 考向二 考向三 解 1 利用模型 該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 2 利用模型 得到的預測值更可靠 理由如下 考向一 考向二 考向三 i 從折線圖可以看出 2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y 30 4 13 5t上下 這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢 2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加 2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近 這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢 利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 99 17 5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢 因此利用模型 得到的預測值更可靠 考向一 考向二 考向三 解題心得在求兩變量相關系數(shù)和兩變量的回歸方程時 由于r和的公式比較復雜 求它的值計算量比較大 為了計算準確 可將這個量分成幾個部分分別計算 這樣等同于分散難點 各個攻破 提高了計算的準確度 ii 從計算結果看 相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元 由模型 得到的預測值226 1億元的增幅明顯偏低 而利用模型 得到的預測值的增幅比較合理 說明利用模型 得到的預測值更可靠 以上給出了2種理由 答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 考向一 考向二 考向三 對點訓練1下表是某校高三一次月考5個班級的數(shù)學 物理的平均成績 1 一般來說 學生的物理成績與數(shù)學成績具有線性相關關系 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) 求兩個變量x y的線性回歸方程 2 從以上5個班級中任選兩個參加某項活動 設選出的兩個班級中數(shù)學平均分在115分以上的個數(shù)為X 求X的分布列和數(shù)學期望 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 獨立性檢驗的綜合問題例2海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新 舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比 收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱 測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量 單位 kg 其頻率分布直方圖如下 舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法 考向一 考向二 考向三 1 設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立 記A表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg 估計A的概率 2 填寫下面列聯(lián)表 并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99 的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關 3 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖 求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值 精確到0 01 考向一 考向二 考向三 解 1 記B表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg C表示事件 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg 由題意知P A P BC P B P C 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62 故P B 的估計值為0 62 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為 0 068 0 046 0 010 0 008 5 0 66 故P C 的估計值為0 66 因此 事件A的概率估計值為0 62 0 66 0 4092 考向一 考向二 考向三 2 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 由于15 705 6 635 故有99 的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關 考向一 考向二 考向三 3 因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中 箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為 0 004 0 020 0 044 5 0 340 5 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 解題心得有關獨立性檢驗的問題解題步驟 1 作出2 2列聯(lián)表 2 計算隨機變量K2的值 3 查臨界值 檢驗作答 考向一 考向二 考向三 對點訓練2 2018全國 理18 某工廠為提高生產(chǎn)效率 開展技術創(chuàng)新活動 提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式 為比較兩種生產(chǎn)方式的效率 選取40名工人 將他們隨機分成兩組 每組20人 第一組工人用第一種生產(chǎn)方式 第二組工人用第二種生產(chǎn)方式 根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間 單位 min 繪制了如下莖葉圖 1 根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高 并說明理由 考向一 考向二 考向三 2 求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m 并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表 3 根據(jù) 2 中的列聯(lián)表 能否有99 的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 考向一 考向二 考向三 解 1 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 理由如下 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人中 有75 的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人中 有75 的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85 5分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73 5分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 考向一 考向二 考向三 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多 關于莖8大致呈對稱分布 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多 關于莖7大致呈對稱分布 又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同 故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 以上給出了4種理由 考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 考向一 考向二 考向三 列聯(lián)表如下 所以有99 的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 考向一 考向二 考向三 依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)求事件發(fā)生的概率例3某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度 從A B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶 得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下 A地區(qū) 6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū) 7383625191465373648293486581745654766579 1 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖 并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度 不要求計算出具體值 給出結論即可 考向一 考向二 考向三 2 根據(jù)用戶滿意度評分 將用戶的滿意度從低到高分為三個等級 記事件C A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級 假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立 根據(jù)所給數(shù)據(jù) 以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率 求C的概率 考向一 考向二 考向三 解 1 兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下 通過莖葉圖可以看出 A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值 A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中 B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散 考向一 考向二 考向三 2 記CA1表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意 CA2表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意 CB1表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意 CB2表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意 則CA1與CB1獨立 CA2與CB2獨立 CB1與CB2互斥 C CB1CA1 CB2CA2 P C P CB1CA1 CB2CA2 P CB1CA1 P CB2CA2 P CB1 P CA1 P CB2 P CA2 考向一 考向二 考向三 解題心得1 直接法 正確分析復雜事件的構成 將復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的事件或一獨立重復試驗問題 然后用相應概率公式求解 2 間接法 當復雜事件正面情況比較多 反面情況比較少 則可利用其對立事件進行求解 即 正難則反 對于 至少 至多 等問題往往也用這種方法求解 考向一 考向二 考向三 對點訓練3A B C三個班共有100名學生 為調(diào)查他們的體育鍛煉情況 通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間 數(shù)據(jù)如下表 單位 小時 1 試估計C班的學生人數(shù) 2 從A班和C班抽出的學生中 各隨機選取一人 A班選出的人記為甲 C班選出的人記為乙 假設所有學生的鍛煉時間相互獨立 求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率 考向一 考向二 考向三 3 再從A B C三個班中各隨機抽取一名學生 他們該周的鍛煉時間分別是7 9 8 25 單位 小時 這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為 1 表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 0 試判斷 0和 1的大小 結論不要求證明 解 1 由題意知 抽出的20名學生中 來自C班的學生有8名 根據(jù)分層抽樣方法 C班的學生人數(shù)估計為100 40 2 設事件Ai為 甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人 i 1 2 5 事件Cj為 乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人 j 1 2 8 考向一 考向二 考向三 設事件E為 該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長 由題意知 E A1C1 A1C2 A2C1 A2C2 A2C3 A3C1 A3C2 A3C3 A4C1 A4C2 A4C3 A5C1 A5C2 A5C3 A5C4 因此P E P A1C1 P A1C2 P A2C1 P A2C2 P A2C3 P A3C1 P A3C2 P A3C3 P A4C1 P A4C2 P A4C3 P A5C1 P A5C2 P A5C3 P A5C4 3 1 0