1 5數(shù)學(xué)文化背景題專項(xiàng)練 我國古代數(shù)學(xué)里有大量的實(shí)際問題 可以結(jié)合統(tǒng)計(jì) 函數(shù) 數(shù)列 立體幾何 算法等內(nèi)容 高考試題會(huì)通過創(chuàng)設(shè)新的情境 改變?cè)O(shè)問方式 選取適合的知識(shí)內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化 這些問題同時(shí)也體現(xiàn)了應(yīng)用性的考查 應(yīng)引起考生的充分重視 常見的數(shù)學(xué)文化題型有 1 數(shù)學(xué)名著中的概率與統(tǒng)計(jì) 2 數(shù)學(xué)名著中的數(shù)列問題 3 數(shù)學(xué)名著中的算法與程序框圖 4 數(shù)學(xué)名著中的立體幾何問題 5 數(shù)學(xué)名著中的三角函數(shù)問題 6 與楊輝三角 祖暅原理有關(guān)的問題 一 選擇題 共12小題 滿分60分 1 祖暅原理 冪勢既同 則積不容異 它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題 意思是兩個(gè)同高的幾何體 如在等高處的截面積恒相等 則體積相等 設(shè)A B為兩個(gè)同高的幾何體 p A B的體積不相等 q A B在等高處的截面積不恒相等 根據(jù)祖暅原理可知 p是q的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 A 解析由p q 反之不成立 p是q的充分不必要條件 故選A 2 2018北京 文5 十二平均律 是通用的音律體系 明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例 為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn) 十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份 依次得到十三個(gè)單音 從第二個(gè)單音起 每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于 若第一個(gè)單音的頻率為f 則第八個(gè)單音的頻率為 D 3 九章算術(shù) 中 將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為 塹堵 已知某 塹堵 的三視圖如圖所示 則該 塹堵 的表面積為 B 解析由三視圖知 該幾何體可看作底面是斜邊邊長為2的等腰直角三角形 且高為2的直三棱柱 所以該幾何體的表面積為 4 九章算術(shù) 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 書中有如下問題 今有委米依垣內(nèi)角 下周八尺 高五尺 問 積及為米幾何 其意思為 在屋內(nèi)墻角處堆放米 如圖 米堆為一個(gè)圓錐的四分之一 米堆底部的弧長為8尺 米堆的高為5尺 問米堆的體積和堆放的米各為多少 已知1斛米的體積約為1 62立方尺 圓周率約為3 估算出堆放的米約有 A 14斛B 22斛C 36斛D 66斛 B 解析設(shè)底面圓半徑為R 米堆高為h 米堆底部弧長為8尺 5 張丘建算經(jīng) 是我國南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作 書中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列 同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn) 書中有這樣一個(gè)問題 大意為 某女子善于織布 后一天比前一天織的快 而且每天增加的數(shù)量相同 已知第一天織布5尺 一個(gè)月 按30天計(jì)算 總共織布390尺 問每天增加的數(shù)量為多少尺 該問題的答案為 B B 7 中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法 下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖 執(zhí)行該程序框圖 若輸入的x 2 n 2 依次輸入的a為2 2 5 則輸出的s A 7B 12C 17D 34 C 解析由題意 得x 2 n 2 k 0 s 0 輸入a 2 則s 0 2 2 2 k 1 繼續(xù)循環(huán) 輸入a 2 則s 2 2 2 6 k 2 繼續(xù)循環(huán) 輸入a 5 s 6 2 5 17 k 3 2 退出循環(huán) 輸出17 故選C 8 2018上海 15 在 九章算術(shù) 中 稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬 設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱 如圖 若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn) 以AA1為底面矩形的一邊 則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是 A 4B 8C 12D 16 D 解析設(shè)正六棱柱為ABCDEF A1B1C1D1E1F1 以側(cè)面AA1B1B AA1F1F為底面矩形的陽馬有E AA1B1B E1 AA1B1B D AA1B1B D1 AA1B1B C AA1F1F C1 AA1F1F D AA1F1F D1 AA1F1F 共8個(gè) 以對(duì)角面AA1C1C AA1E1E為底面矩形的陽馬有F AA1C1C F1 AA1C1C D AA1C1C D1 AA1C1C B AA1E1E B1 AA1E1E D AA1E1E D1 AA1E1E 共8個(gè) 所以共有8 8 16 個(gè) 故選D 9 下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著 九章算術(shù) 中的 更相減損術(shù) 執(zhí)行該程序框圖 若輸入的a b分別為14 18 則輸出的a A 0B 2C 4D 14 B 解析由程序框圖 得 14 18 14 4 10 4 6 4 2 4 2 2 則輸出的a 2 10 祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的科學(xué)家 他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理 冪勢既同 則積不容異 意思是 如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等 那么這兩個(gè)幾何體的體積相等 此即祖暅原理 利用這個(gè)原理求球的體積時(shí) 需要構(gòu)造一個(gè)滿足條件的幾何體 已知該幾何體三視圖如圖所示 用一個(gè)與該幾何體的下底面平行相距為h 0 h 2 的平面截該幾何體 則截面面積為 A 4 B h2C 2 h 2D 4 h2 D 解析由已知得到幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐 底面半徑為2 高為2 截面為圓環(huán) 小圓半徑為r 大圓半徑為2 則 得到r h 所以截面圓環(huán)的面積為4 h2 4 h2 故選D 11 我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶 約1202 1261 在他的著作 數(shù)書九章 中提出了多項(xiàng)式求值的秦九韶算法 如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的一個(gè)實(shí)例 若輸入的n 5 v 1 x 2 則輸出的是 A 63B 64C 31D 32 A 解析輸入n 5 v 1 x 2 則i 4 滿足條件i 0 執(zhí)行循環(huán)體 v 1 2 1 3 i 3 滿足條件i 0 執(zhí)行循環(huán)體 v 3 2 1 7 i 2 滿足條件i 0 執(zhí)行循環(huán)體 v 7 2 1 15 i 1 滿足條件i 0 執(zhí)行循環(huán)體 v 15 2 1 31 i 0 滿足條件i 0 執(zhí)行循環(huán)體 v 31 2 1 63 i 1 不滿足條件i 0 退出循環(huán) 輸出v的值為63 故選A 12 九章算術(shù) 是我國古代的數(shù)學(xué)名著 書中有如下問題 今有五人分五錢 令上二人所得與下三人等 問各得幾何 其意思為 已知甲 乙 丙 丁 戊五人分5錢 甲 乙兩人所得與丙 丁 戊三人所得相同 且甲 乙 丙 丁 戊所得依次成等差數(shù)列 問五人各得多少錢 錢 是古代的一種質(zhì)量單位 這個(gè)問題中 甲所得為 B 解析設(shè)甲 乙 丙 丁 戊所得質(zhì)量分別為a 2d a d a a d a 2d 則a 2d a d a a d a 2d 即a 6d 又a 2d a d a a d a 2d 5a 5 a 1 二 填空題 共4小題 滿分20分 13 2018浙江 11 我國古代數(shù)學(xué)著作 張邱建算經(jīng) 中記載百雞問題 今有雞翁一 值錢五 雞母一 值錢三 雞雛三 值錢一 凡百錢 買雞百只 問雞翁 母 雛各幾何 設(shè)雞翁 雞母 雞雛的個(gè)數(shù)分別為x y z 則則當(dāng)z 81時(shí) x y 8 11 14 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí) 發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù) 1 1 2 3 5 8 該數(shù)列的特點(diǎn)是 前兩個(gè)數(shù)均為1 從第三個(gè)數(shù)起 每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和 人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列 an 稱為 斐波那契數(shù)列 1 15 我國古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 中有如下問題 今有金箠 長五尺 斬本一尺 重四斤 斬末一尺 重二斤 問次一尺各重幾何 意思是 現(xiàn)有一根金杖 長5尺 一頭粗 一頭細(xì) 在粗的一端截下1尺 重4斤 在細(xì)的一端截下1尺 重2斤 問依次每一尺各重多少斤 設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的 其重量為M 現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段 記第i段的重量為ai i 1 2 10 且a1 a2 a10 若48ai 5M 則i 6 16 第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的 如圖 會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形 如果小正方形的面積為1 大正方形的面積為25 直角三角形中較大的銳角為 那么 趙爽的弦圖 7