2 2函數(shù)的零點與方程專項練 1 零點的定義 對于函數(shù)y f x 使f x 0的實數(shù)x叫做函數(shù)y f x 的零點 2 零點存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是一條連續(xù)曲線 且有f a f b 0 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 即存在c a b 使得f c 0 此時這個c就是方程f x 0的根 3 函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系 函數(shù)F x f x g x 的零點就是方程f x g x 的根 即函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y g x 的圖象交點的橫坐標(biāo) 4 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 1 直接求零點 2 零點存在性定理 3 數(shù)形結(jié)合法 5 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 1 利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解 2 分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域 最值 問題求解 3 轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的上 下關(guān)系問題 從而構(gòu)建不等式求解 4 方程f x m 0有解 m的范圍就是函數(shù)y f x 的值域 一 選擇題 共12小題 滿分60分 1 由表格中的數(shù)據(jù)可以判定函數(shù)f x lnx x 2的一個零點所在的區(qū)間是 k k 1 k Z 則k的值為 A 1B 2C 3D 4 C 解析當(dāng)x取值分別是1 2 3 4 5時 f 1 1 f 2 0 69 f 3 0 1 f 4 0 61 f 5 1 39 f 3 f 4 0 函數(shù)的零點在區(qū)間 3 4 內(nèi) k 3 故選C 2 函數(shù)f x x 3的零點所在區(qū)間為 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 B 3 若關(guān)于x的方程4sin2x msinx 1 0在 0 內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根 則實數(shù)m的取值范圍是 A x x 4 C x x 5 D x x 5 4 D 4 已知函數(shù)f x 2ax a 3 若 x0 1 1 f x0 0 則實數(shù)a的取值范圍是 A 3 1 B 3 C 3 1 D 1 A 解析函數(shù)f x 2ax a 3 由 x0 1 1 f x0 0 可得 3a 3 a 3 0 解得a 3 1 5 已知函數(shù)f x ex x g x lnx x h x lnx 1的零點依次為a b c 則 A a b cB c b aC c a bD b a c A 解析由f a ea a 0 得a ea 0 b是函數(shù)y lnx和y x圖象交點的橫坐標(biāo) 畫圖 圖略 可知0 b 1 由h c lnc 1 0知c e 所以a b c 6 已知函數(shù)f x ax x b的零點x0 n n 1 n Z 其中常數(shù)a b滿足0 b 1 a 則n的值為 A 2B 1C 2D 1 D 解析由題意得函數(shù)f x ax x b為增函數(shù) 常數(shù)a b滿足00 所以函數(shù)f x ax x b在 1 0 內(nèi)有一個零點 故n 1 A 4nB 2nC nD 0 B g x 的圖象也關(guān)于點 2 0 對稱 即有f x 與g x 的交點關(guān)于點 2 0 對稱 8 已知函數(shù)f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零點 則a C 解析 f x x2 2x a ex 1 e x 1 f 2 x 2 x 2 2 2 x a e2 x 1 e 2 x 1 x2 4x 4 4 2x a e1 x ex 1 x2 2x a ex 1 e x 1 f 2 x f x 即直線x 1為f x 圖象的對稱軸 f x 有唯一零點 f x 的零點只能為1 即f 1 12 2 1 a e1 1 e 1 1 0 解得a 9 設(shè)函數(shù)f x 的定義域為R f x f x f x f 2 x 當(dāng)x 0 1 時 f x x3 則函數(shù)g x cos x f x 在區(qū)間上的所有零點的和是 A 2B 3C 2D 4 B 解析因為f x f x f x f 2 x 所以f x f 2 x 所以f x 的周期為2 畫出y f x 和y cos x 的圖象 由圖可知 g x 共有5個零點 其中x1 x2 0 x4 1 x3 x5 2 所以所有零點的和為3 D 解析 對任意x R 都有f x 2 f x 2 f x 4 f x 2 2 f x 2 2 f x f x 是定義在R上的周期為4的函數(shù) 作函數(shù)f x 與y loga x 2 的圖象如下 11 已知函數(shù)f x x2 2ex m 1 g x x x 0 若方程g x f x 0有兩個相異實根 則m的取值范圍為 A e2 2e 1 B e2 2e 1 C e2 1 2e D 2e 1 e2 1 A 解析若g x f x 0有兩個相異的實根 即函數(shù)y g x 與y f x 的圖象有兩個不同的交點 作出g x x 0 的大致圖象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其圖象的對稱軸為x e 開口向下 最大值為m 1 e2 故當(dāng)m 1 e2 2e 即m e2 2e 1時 y g x 與y f x 的圖象有兩個交點 即g x f x 0有兩個相異實根 m的取值范圍是 e2 2e 1 A 二 填空題 共4小題 滿分20分 13 2018江蘇 11 若函數(shù)f x 2x3 ax2 1 a R 在 0 內(nèi)有且只有一個零點 則f x 在 1 1 上的最大值與最小值的和為 3 14 已知函數(shù)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 且當(dāng)x 0 時 f x 2017x log2017x 則f x 在R上的零點的個數(shù)為 3 15 已知函數(shù)f x 若函數(shù)g x f x 2x恰有三個不同的零點 則實數(shù)m的取值范圍是 1 2 解析 函數(shù)g x f x 2x恰有三個不同的零點 g x 在 m 上有一個零點 在 m 上有兩個零點 16 已知函數(shù)f x ex e x 下列命題正確的有 寫出所有正確命題的編號 f x 是奇函數(shù) f x 在R上是單調(diào)遞增函數(shù) 方程f x x2 2x有且僅有1個實數(shù)根 如果對任意x 0 都有f x kx 那么k的最大值為2