2 4 3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)及參數(shù)范圍 解題策略一 解題策略二 判斷 證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)解題策略一應(yīng)用單調(diào)性 零點(diǎn)存在性定理 數(shù)形結(jié)合判斷例1設(shè)函數(shù)f x e2x alnx 1 討論f x 的導(dǎo)函數(shù)f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 證明當(dāng)a 0時(shí) f x 2a aln 難點(diǎn)突破 1 討論f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)要依據(jù)f x 的單調(diào)性 應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題心得研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況 可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 最大值 最小值 變化趨勢(shì)等 并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況 解題策略一 解題策略二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f x x3 3x2 ax 2 曲線y f x 在點(diǎn) 0 2 處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2 1 求a 2 證明當(dāng)k 1時(shí) 曲線y f x 與直線y kx 2只有一個(gè)交點(diǎn) 1 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲線y f x 在點(diǎn) 0 2 處的切線方程為y ax 2 由題設(shè)得 2 所以a 1 解題策略一 解題策略二 2 證明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 設(shè)g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由題設(shè)知1 k 0 當(dāng)x 0時(shí) g x 3x2 6x 1 k 0 g x 單調(diào)遞增 g 1 k 10時(shí) 令h x x3 3x2 4 則g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 單調(diào)遞減 在 2 單調(diào)遞增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 沒有實(shí)根 綜上 g x 0在R有唯一實(shí)根 即曲線y f x 與直線y kx 2只有一個(gè)交點(diǎn) 解題策略一 解題策略二 解題策略二分類討論法例2已知函數(shù)f x x3 ax g x lnx 1 當(dāng)a為何值時(shí) x軸為曲線y f x 的切線 2 用min m n 表示m n中的最小值 設(shè)函數(shù)h x min f x g x x 0 討論h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 難點(diǎn)突破 1 設(shè)切點(diǎn) x0 0 依題意f x0 0 f x0 0 得關(guān)于a x0的方程組解之 2 為確定出h x 對(duì)自變量x 0分類討論 確定出h x 后對(duì)參數(shù)a分類討論h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) h x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定要依據(jù)h x 的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題心得1 如果函數(shù)中沒有參數(shù) 一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn) 判斷極值點(diǎn)大于0小于0的情況 進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 如果函數(shù)中含有參數(shù) 往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷 這時(shí)先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類 再判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 如果分類也不好判斷 那么需要對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo) 在判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí) 也可能需要分類 解題策略一 解題策略二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f x alnx a 1 x a R 1 當(dāng)a 1時(shí) 求函數(shù)f x 的最小值 2 當(dāng)a 1時(shí) 討論函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 當(dāng)00 f x 為增函數(shù) x a 1 時(shí) f x 0 f x 為增函數(shù) 所以f x 在x a處取極大值 f x 在x 1處取極小值 當(dāng)0 a 1時(shí) f a 0 即在x 0 1 時(shí) f x 0 而f x 在x 1 時(shí)為增函數(shù) 且x 時(shí) f x 所以此時(shí)f x 有一個(gè)零點(diǎn) 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍解題策略一最小值法例3已知函數(shù)f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 當(dāng)a 1時(shí) 求證 函數(shù)f x 在 0 內(nèi)單調(diào)遞增 2 若函數(shù)y f x t 1有三個(gè)零點(diǎn) 求t的值 難點(diǎn)突破 1 先求f x 的導(dǎo)函數(shù)f x 再證明f x 0 2 由題意當(dāng)a 0 a 1時(shí) f x 0有唯一解x 0 y f x t 1有三個(gè)零點(diǎn) f x t 1有三個(gè)根 從而t 1 f x min f 0 1 解得t即可 解題策略一 解題策略二 1 證明f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 由于a 1 故當(dāng)x 0 時(shí) lna 0 ax 1 0 所以f x 0 故函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 2 解當(dāng)a 0 a 1時(shí) f x 2x ax 1 lna f x 2 ax lna 2 0 f x 在R上單調(diào)遞增 因?yàn)閒 0 0 故f x 0有唯一解x 0 所以x f x f x 的變化情況如表所示 又函數(shù)y f x t 1有三個(gè)零點(diǎn) 所以方程f x t 1有三個(gè)根 而t 1 t 1 所以t 1 f x min f 0 1 解得t 2 解題策略一 解題策略二 解題心得在已知函數(shù)y f x 有幾個(gè)零點(diǎn)求f x 中參數(shù)t的值或范圍問題 經(jīng)常從f x 中分離出參數(shù)t g x 然后用求導(dǎo)的方法求出g x 的最值 再根據(jù)題意求出參數(shù)t的值或范圍 解題策略一 解題策略二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 2018廣東珠海質(zhì)檢 函數(shù)f x axex lnx x a R 1 若a 0 試討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 若f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 求a的取值范圍 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略二分類討論法 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題心得在已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下 求參數(shù)的范圍問題 通常采用分類討論法 依據(jù)題目中的函數(shù)解析式的構(gòu)成 將參數(shù)分類 在參數(shù)的小范圍內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意 將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起 即為所求參數(shù)范圍 解題策略一 解題策略二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2 1 討論f x 的單調(diào)性 2 若f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 求a的取值范圍 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 設(shè)a 0 則當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 所以f x 在 1 單調(diào)遞減 在 1 單調(diào)遞增 解題策略一 解題策略二 設(shè)a 則ln 2a 0 當(dāng)x ln 2a 1 時(shí) f x 1 故當(dāng)x 1 ln 2a 時(shí) f x 0 當(dāng)x 1 ln 2a 時(shí) f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 單調(diào)遞增 在 1 ln 2a 單調(diào)遞減 解題策略一 解題策略二 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的證明問題解題策略等價(jià)轉(zhuǎn)換后構(gòu)造函數(shù)證明例5設(shè)函數(shù)f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若函數(shù)F x f x g x 有兩個(gè)零點(diǎn)x1 x2 求滿足條件的最小正整數(shù)a的值 解題心得證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式 函數(shù)的零點(diǎn)本身就是一個(gè)條件 即零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0 證明的思路一般對(duì)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化 構(gòu)造合適的新函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探討該函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 極值情況等 再結(jié)合函數(shù)圖象來解決 1 a 0即a 1時(shí) x 0 時(shí) h x 0 h x 在 0 遞增 a 1 0即a 1時(shí) x 0 1 a 時(shí) h x 0 h x 在 0 1 a 遞減 在 1 a 遞增 綜上 a 1時(shí) h x 在 0 1 a 遞減 在 1 a 遞增 a 1時(shí) h x 在 0 遞增