2 4 2導數(shù)與不等式及參數(shù)范圍 解題策略一 解題策略二 求參數(shù)的取值范圍 多維探究 解題策略一構造函數(shù)法角度一從條件關系式中構造函數(shù)例1已知函數(shù)f x x 1 lnx a x 1 1 當a 4時 求曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程 2 若當x 1 時 f x 0 求a的取值范圍 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 當a 2 x 1 時 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 單調(diào)遞增 因此g x 0 當a 2時 令g x 0得 由x2 1和x1x2 1得x1 1 故當x 1 x2 時 g x 0 g x 在 1 x2 單調(diào)遞減 因此g x 0 綜上 a的取值范圍是 2 解題策略一 解題策略二 解題心得用導數(shù)解決滿足函數(shù)不等式條件的參數(shù)范圍問題 一般都需要構造函數(shù) 然后對構造的函數(shù)求導 一般導函數(shù)中都含有參數(shù) 通過對參數(shù)討論確定導函數(shù)的正負 由導函數(shù)的正負確定構造函數(shù)的單調(diào)性 再由單調(diào)性確定是否滿足函數(shù)不等式 由此求出參數(shù)范圍 解題策略一 解題策略二 對點訓練1已知函數(shù)f x ax lnx 1 過原點O作函數(shù)f x 圖象的切線 求切點的橫坐標 2 對 x 1 不等式f x a 2x x2 恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解 1 設切點為M x0 f x0 直線的切線方程為y f x0 k x x0 又切線過原點O 所以 ax0 lnx0 ax0 1 由lnx0 1 解得x0 e 所以切點的橫坐標為e 解題策略一 解題策略二 2 不等式ax lnx a 2x x2 對 x 1 恒成立 等價于a x2 x lnx對 x 1 恒成立 當x 1時 a R都有不等式恒成立 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 1 解f x 的定義域為R f x 由f x 0 得x 0 由f x 0 得x0 所以f x 的單調(diào)增區(qū)間為 0 單調(diào)減區(qū)間為 0 f x max f 0 1 當x 時 y 0 當x 時 y 所以m的取值范圍是 0 1 2 證明由 1 知 x1 1 0 要證x2 x1 0 只需證f x2 f x1 因為f x1 f x2 m 所以只需證f x1 f x1 解題策略一 解題策略二 令h x x 1 e2x x 1 則h x 2x 1 e2x 1 因為 h x 4xe2xh 0 0 所以h x 在 1 0 上單調(diào)遞增 所以h x 0 解題心得在遇到陌生的已知條件一時沒有解題思路時 不妨對已知條件進行等價轉(zhuǎn)化 在轉(zhuǎn)化的過程中把問題化歸為熟悉的問題或者熟悉的題型 從而得到解決 解題策略一 解題策略二 對點訓練2設f x xex g x x2 x 1 令F x f x g x 求F x 的最小值 2 若任意x1 x2 1 且x1 x2有m f x1 f x2 g x1 g x2 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 解題策略二分離參數(shù)法 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 于是h x 在 1 內(nèi)遞增 則h x h 1 0 則g x 0 于是g x 在 1 內(nèi)遞增 g x g 1 2 則k的取值范圍是k 2 解題策略一 解題策略二 解題心得有些函數(shù)與導數(shù)的綜合問題即使構造函數(shù)正確 也存在分類討論相當復雜的情形 難以繼續(xù)作答 可以利用分離參數(shù)法簡化構造函數(shù) 使得問題簡單求解 若求導后不易得到極值點 可二次求導 還不行時 就使用參數(shù)討論法 即以參數(shù)為分類標準 看是否符合題意 當最值所在點處函數(shù)值是 型時 可使用洛必達法則 可求極限值 解題策略一 解題策略二 對點訓練3 2018河北衡水中學二調(diào) 已知函數(shù)f x lnx ax2 a R 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若關于x的不等式f x a 1 x 1恒成立 求整數(shù)a的最小值 解題策略一 解題策略二 解題策略一 解題策略二 證明不等式 多維探究 解題策略構造函數(shù)法角度一從條件關系式中構造函數(shù)例4設函數(shù)f x lnx x 1 1 討論f x 的單調(diào)性 2 證明當x 1 時 11 證明當x 0 1 時 1 c 1 x cx 難點突破 作差構造 證明當x 0 1 時 1 c 1 x cx 設g x 1 c 1 x cx 證g x 0 通過對g x 求導判斷g x 的單調(diào)性 再由g x 的單調(diào)性和g x 的幾個特殊值證出g x 0 解題心得1 欲證函數(shù)不等式f x g x x a 只需證明f x g x 0 x a 設h x f x g x 即證h x 0 若h a 0 h x h a x a 接下來往往用導數(shù)證得函數(shù)h x 是增函數(shù)即可 2 欲證函數(shù)不等式f x g x x I I是區(qū)間 只需證明f x g x 0 x I 設h x f x g x x I 即證h x 0 也即證h x min 0 x I 若h x min不存在 則需求函數(shù)h x 的下確界 而這用導數(shù)往往容易解決 3 證明f x g x x I I是區(qū)間 只需證明f x min g x max 證明f x g x x I I是區(qū)間 只需證明f x min g x max 或證明f x min g x max且兩個最值點不相等 對點訓練4已知f x ex ax2 曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程為y bx 1 1 求a b的值 2 求f x 在 0 1 上的最大值 3 證明當x 0時 ex 1 e x 1 xlnx 0 1 解f x ex 2ax 由題設得f 1 e 2a b f 1 e a b 1 解得a 1 b e 2 2 解由 1 知f x ex x2 f x ex 2x 設h x ex 2x h x ex 2 f x 在 ln2 內(nèi)單調(diào)遞減 在 ln2 內(nèi)單調(diào)遞增 f x f ln2 2 2ln2 0 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 f x max f 1 e 1 3 證明 f 0 1 由 2 知 f x 過點 1 e 1 且y f x 在x 1處的切線方程為y e 2 x 1 故可猜測當x 0 x 1時 f x 的圖象恒在切線y e 2 x 1的上方 下證 當x 0時 f x e 2 x 1 設g x f x e 2 x 1 ex x2 e 2 x 1 則g x ex 2x e 2 設h x ex 2x e 2 h x ex 2 所以g x 在 0 ln2 內(nèi)單調(diào)遞減 在 ln2 內(nèi)單調(diào)遞增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 當x x0 1 時 g x 0 故g x 在 0 x0 內(nèi)單調(diào)遞增 在 x0 1 內(nèi)單調(diào)遞減 在 1 內(nèi)單調(diào)遞增 角度二從條件中分離指 對函數(shù)分別構造例5設函數(shù)f x aexlnx 曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程為y e x 1 2 1 求a b 2 證明f x 1 解題心得證明不等式f x g x 成立 可以構造函數(shù)H x f x g x 通過證明函數(shù)H x 的最小值大于等于零即可 可是有時候利用導數(shù)求函數(shù)H x 的最小值不易 這時還可以證明f x 的最小值大于或等于g x 的最大值 對點訓練5已知函數(shù)f x aexlnx在x 1處的切線與直線x 2ey 0垂直 1 求a的值 2 證明xf x 1 5ex 1