4 2 1等差 等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和 等差 等比數(shù)列的通項及求和例1 2018全國 文17 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 設(shè) an 的公差為d 由題意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通項公式為an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以當(dāng)n 4時 Sn取得最小值 最小值為 16 解題心得對于等差 等比數(shù)列 求其通項及前n項和時 只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可 對點訓(xùn)練1已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 等比數(shù)列 bn 的前n項和為Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通項公式 2 若T3 21 求S3 解設(shè) an 的公差為d bn 的公比為q 則an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通項公式為bn 2n 1 2 由b1 1 T3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 當(dāng)q 5時 由 得d 8 則S3 21 當(dāng)q 4時 由 得d 1 則S3 6 可轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列的問題例2已知 an 是公差為3的等差數(shù)列 數(shù)列 bn 滿足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通項公式 2 求 bn 的前n項和 解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和 通過變形 整理后 能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列 進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題 對點訓(xùn)練2設(shè) an 是公比大于1的等比數(shù)列 Sn為數(shù)列 an 的前n項和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4構(gòu)成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 令bn n 1 2 求數(shù)列 bn 的前n項和Tn 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 bn 1 bn 3ln2 數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 求數(shù)列的通項及錯位相減求和例3已知 an 為等差數(shù)列 前n項和為Sn n N bn 是首項為2的等比數(shù)列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項公式 2 求數(shù)列 a2nbn 的前n項和 n N 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因為q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯(lián)立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通項公式為an 3n 2 bn 的通項公式為bn 2n 2 設(shè)數(shù)列 a2nbn 的前n項和為Tn 由a2n 6n 2 有Tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2Tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述兩式相減 得 Tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 得Tn 3n 4 2n 2 16 所以 數(shù)列 a2nbn 的前n項和為 3n 4 2n 2 16 解題心得求數(shù)列通項的基本方法是利用等差 等比數(shù)列通項公式 或通過變形轉(zhuǎn)換成等差 等比數(shù)列求通項 如果數(shù)列 an 與數(shù)列 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 那么數(shù)列 an bn 的前n項和采用錯位相減法來求 對點訓(xùn)練3 2018浙江 20 已知等比數(shù)列 an 的公比q 1 且a3 a4 a5 28 a4 2是a3 a5的等差中項 數(shù)列 bn 滿足b1 1 數(shù)列 bn 1 bn an 的前n項和為2n2 n 1 求q的值 2 求數(shù)列 bn 的通項公式 解 1 由a4 2是a3 a5的等差中項 得a3 a5 2a4 4 所以a3 a4 a5 3a4 4 28 解得a4 8 求數(shù)列的通項及裂項求和例4設(shè)數(shù)列 an 滿足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通項公式 2 求數(shù)列的前n項和 解 1 因為a1 3a2 2n 1 an 2n 故當(dāng)n 2時 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 兩式相減得 2n 1 an 2 解題心得對于已知等式中含有an Sn的求數(shù)列通項的題目 一般有兩種解題思路 一是消去Sn得到f an 0 求出an 二是消去an得到g Sn 0 求出Sn 再求an 把數(shù)列的通項拆成兩項之差 求和時中間的項能夠抵消 從而求得其和 注意抵消后所剩余的項一般前后對稱 對點訓(xùn)練4已知 an 為公差不為零的等差數(shù)列 其中a1 a2 a5成等比數(shù)列 a3 a4 12 1 求數(shù)列 an 的通項公式 涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例5已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且a1 2 S5 30 數(shù)列 bn 的前n項和為Tn 且Tn 2n 1 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 2 設(shè)cn 1 n anbn lnSn 求數(shù)列 cn 的前n項和 解 1 S5 5a1 d 10 10d 30 d 2 an 2n 對數(shù)列 bn 當(dāng)n 1時 b1 T1 21 1 1 當(dāng)n 2時 bn Tn Tn 1 2n 2n 1 2n 1 當(dāng)n 1時也滿足上式 bn 2n 1 當(dāng)n為偶數(shù)時 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 當(dāng)n為奇數(shù)時 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 Bn 1 nln n 1 對點訓(xùn)練5已知函數(shù)f x 4x 4 f a1 f a2 f an 2n 3 n N 成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式