5 3 2空間中的垂直 夾角及幾何體的體積 垂直關系的證明例1 2018全國 文19 如圖 在三棱錐P ABC中 AB BC 2 PA PB PC AC 4 O為AC的中點 1 證明 PO 平面ABC 2 若點M在棱BC上 且MC 2MB 求點C到平面POM的距離 解題心得從解題方法上講 由于線線垂直 線面垂直 面面垂直之間可以相互轉化 因此整個解題過程始終沿著線線垂直 線面垂直 面面垂直的轉化途徑進行 對點訓練1 2018全國 文18 如圖 在平行四邊形ABCM中 AB AC 3 ACM 90 以AC為折痕將 ACM折起 使點M到達點D的位置 且AB DA 1 證明 平面ACD 平面ABC 2 Q為線段AD上一點 P為線段BC上一點 且BP DQ DA 求三棱錐Q ABP的體積 1 證明由已知可得 BAC 90 BA AC 又BA AD 所以AB 平面ACD 又AB 平面ABC 所以平面ACD 平面ABC 平面圖形的折疊問題例2如圖 菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O 點E F分別在AD CD上 AE CF EF交BD于點H 將 DEF沿EF折到 D EF的位置 解題心得平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后 原有的性質有的發(fā)生變化 有的沒變 一般地 在翻折后還在一個平面上的性質不發(fā)生變化 不在同一個平面上的性質可能發(fā)生變化 解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變 去研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和各類幾何量的度量值 這是化解翻折問題的主要方法 對點訓練2如圖 菱形ABCD的邊長為12 BAD 60 AC交BD于點O 將菱形ABCD沿對角線AC折起 得到三棱錐B ACD 如圖 點M N分別是棱BC AD的中點 且DM 1 求證 OD 平面ABC 2 求三棱錐M ABN的體積 1 證明 四邊形ABCD是菱形 AD DC OD AC 在 ADC中 AD DC 12 ADC 120 則OD 6 M是BC的中點 OD2 OM2 MD2 DO OM OM AC 平面ABC OM AC O OD 平面ABC 幾何體中的作圖問題例3如圖 已知正三棱錐P ABC的側面是直角三角形 PA 6 頂點P在平面ABC內的正投影為點D D在平面PAB內的正投影為點E 連接PE并延長交AB于點G 1 證明 G是AB的中點 2 在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F 說明作法及理由 并求四面體PDEF的體積 1 證明因為P在平面ABC內的正投影為D 所以AB PD 因為D在平面PAB內的正投影為E 所以AB DE 所以AB 平面PED 故AB PG 又由已知可得 PA PB 從而G是AB的中點 2 解在平面PAB內 過點E作PB的平行線交PA于點F F即為E在平面PAC內的正投影 理由如下 由已知可得PB PA PB PC 又EF PB 所以EF PA EF PC 因此EF 平面PAC 即點F為E在平面PAC內的正投影 連接CG 因為P在平面ABC內的正投影為D 所以D是正三角形ABC的中心 由 1 知 G是AB的中點 所以D在CG上 解題心得解立體幾何題 總是離不開作輔助直線 輔助平面 而作好圖形的基礎在于基本作圖 基本作圖如 1 過不在同一條直線上的三點作一個平面 2 作已知兩個相交平面的交線等 對點訓練3如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過點E F的平面 與此長方體的面相交 交線圍成一個正方形 1 在圖中畫出這個正方形 不必說明畫法和理由 2 求平面 把該長方體分成的兩部分體積的比值 空間中的角例4 2018天津 文17 如圖 在四面體ABCD中 ABC是等邊三角形 平面ABC 平面ABD 點M為棱AB的中點 AB 2 AD BAD 90 1 求證 AD BC 2 求異面直線BC與MD所成角的余弦值 3 求直線CD與平面ABD所成角的正弦值 1 證明由平面ABC 平面ABD 平面ABC 平面ABD AB AD AB 可得AD 平面ABC 故AD BC 2 解取棱AC的中點N 連接MN ND 又因為M為棱AB的中點 故MN BC 所以 DMN 或其補角 為異面直線BC與MD所成的角 解題心得空間中的角包括異面直線所成的角 線與面所成的角及二面角 求空間中的角的步驟是一作 二證 三求 如何作出所求角是關鍵 異面直線所成的角一般利用平行線轉化為同一平面內的兩條直線所成的角 線與面所成的角一般找到直線在平面內的射影 轉化為直線與直線在平面內的射影所成的角 求二面角轉化為求二面角的平面角 對點訓練4 2018浙江 19 如圖 已知多面體ABCA1B1C1 A1A B1B C1C均垂直于平面ABC ABC 120 A1A 4 C1C 1 AB BC B1B 2 1 證明 AB1 平面A1B1C1 2 求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值 2 解如圖 過點C1作C1D A1B1 交直線A1B1于點D 連接AD