專題強化十四應用氣體實驗定律解決兩類模型問題 第十三章熱學 專題解讀 1 本專題是氣體實驗定律在玻璃管液封模型和汽缸活塞類模型中的應用 高考在選考模塊中通常以計算題的形式命題 2 學好本專題可以幫助同學們熟練的選取研究對象和狀態(tài)變化過程 掌握處理兩類模型問題的基本思路和方法 3 本專題用到的相關知識和方法有 受力分析 壓強的求解方法 氣體實驗定律等 內容索引 命題點一玻璃管液封模型 命題點二汽缸活塞類模型 課時作業(yè) 盤查拓展點 1 命題點一玻璃管液封模型 1 三大氣體實驗定律 1 玻意耳定律 等溫變化 p1V1 p2V2或pV C 常數(shù) 2 查理定律 等容變化 常數(shù) 3 蓋 呂薩克定律 等壓變化 常數(shù) 2 利用氣體實驗定律及氣態(tài)方程解決問題的基本思路 3 玻璃管液封模型求液柱封閉的氣體壓強時 一般以液柱為研究對象分析受力 列平衡方程 要注意 1 液體因重力產生的壓強大小為p gh 其中h為至液面的豎直高度 2 不要漏掉大氣壓強 同時又要盡可能平衡掉某些大氣的壓力 3 有時可直接應用連通器原理 連通器內靜止的液體 同種液體在同一水平面上各處壓強相等 4 當液體為水銀時 可靈活應用壓強單位 cmHg 等 使計算過程簡捷 2015 新課標全國 33 2 如圖 一粗細均勻的U形管豎直放置 A側上端封閉 B側上端與大氣相通 下端開口處開關K關閉 A側空氣柱的長度為l 10 0cm B側水銀面比A側的高h 3 0cm 現(xiàn)將開關K打開 從U形管中放出部分水銀 當兩側水銀面的高度差為h1 10 0cm時將開關K關閉 已知大氣壓強p0 75 0cmHg 1 求放出部分水銀后A側空氣柱的長度 例1 答案 解析 12 0cm 分析 p p0 h p1 p0 h1 pl p1l1 p p0 h p1 p0 h1 聯(lián)立 式 l1 12 0cm 2 此后再向B側注入水銀 使A B兩側的水銀面達到同一高度 求注入的水銀在管內的長度 答案 解析 13 2cm pl p2l2 p2 p0 聯(lián)立 式 l2 10 4cm 設注入的水銀在管內的長度為 h h 2 l1 l2 h1 聯(lián)立 式 h 13 2cm 氣體實驗定律的應用技巧1 用氣體實驗定律解題的關鍵是恰當?shù)剡x取研究對象 必須是一定質量的氣體 搞清氣體初 末狀態(tài)的狀態(tài)參量 正確判斷出氣體狀態(tài)變化的過程是屬于等溫 等壓還是等容過程 然后列方程求解 2 分析氣體狀態(tài)變化過程的特征要注意以下兩個方面 一是根據(jù)題目的條件進行論證 比如從力學的角度分析壓強的情況 判斷是否屬于等壓過程 二是注意挖掘題目的隱含條件 比如緩慢壓縮導熱良好的汽缸中的氣體 意味著氣體溫度與環(huán)境溫度保持相等 1 如圖所示 一細U型管兩端開口 用兩段水銀柱封閉了一段空氣柱在管的底部 初始狀態(tài)時氣體溫度為280K 管的各部分尺寸如圖所示 圖中封閉空氣柱長度L1 20cm 其余部分長度分別為L2 15cm L3 10cm h1 4cm h2 20cm 現(xiàn)使氣體溫度緩慢升高 取大氣壓強為p0 76cmHg 求 1 氣體溫度升高到多少時右側水銀柱開始全部進入豎直管 答案 解析 630K 分析 設U型管的橫截面積是S 以封閉氣體為研究對象 其初狀態(tài) p1 p0 h1 76 4 cmHg 80cmHg V1 L1S 20S當右側的水銀全部進入豎直管時 水銀柱的高度 h h1 L3 4 10 cm 14cm 此時左側豎直管中的水銀柱也是14cm氣體的狀態(tài)參量 p2 p0 h 76 14 cmHg 90cmHg V2 L1S 2L3S 20S 2 10S 40S由理想氣體的狀態(tài)方程得 代入數(shù)據(jù)得 T2 630K 2 氣體溫度升高到多少時右側水銀柱與管口相平 答案 解析 787 5K V3 L1S L3S h2S 20S 10S 20S 50S代入數(shù)據(jù)得 T3 787 5K 水銀柱全部進入右管后 產生的壓強不再增大 所以左側的水銀柱不動 右側水銀柱與管口相平時 分析 2 2016 全國 卷 33 2 在水下氣泡內空氣的壓強大于氣泡表面外側水的壓強 兩壓強差 p與氣泡半徑r之間的關系為 p 其中 0 070N m 現(xiàn)讓水下10m處一半徑為0 50cm的氣泡緩慢上升 已知大氣壓強p0 1 0 105Pa 水的密度 1 0 103kg m3 重力加速度大小g 10m s2 1 求在水下10m處氣泡內外的壓強差 答案 解析 28Pa 水下10m處氣泡內外的壓強差是28Pa 2 忽略水溫隨水深的變化 在氣泡上升到十分接近水面時 求氣泡的半徑與其原來半徑之比的近似值 答案 解析 氣泡上升過程中做等溫變化 p1V1 p2V2其中 p1 p0 gh1 1 105Pa 1 103 10 10Pa 2 105Pa 2p0p2 p0聯(lián)立得 2r13 r23得 2 命題點二汽缸活塞類模型 汽缸活塞類問題是熱學部分典型的物理綜合題 它需要考慮氣體 汽缸或活塞等多個研究對象 涉及熱學 力學等物理知識 需要靈活 綜合地應用知識來解決問題 1 解決汽缸活塞類問題的一般思路 1 弄清題意 確定研究對象 一般地說 研究對象分兩類 一類是熱學研究對象 一定質量的理想氣體 另一類是力學研究對象 汽缸 活塞或某系統(tǒng) 2 分析清楚題目所述的物理過程 對熱學研究對象分析清楚初 末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程 依據(jù)氣體實驗定律列出方程 對力學研究對象要正確地進行受力分析 依據(jù)力學規(guī)律列出方程 3 注意挖掘題目的隱含條件 如幾何關系等 列出輔助方程 4 多個方程聯(lián)立求解 對求解的結果注意檢驗它們的合理性 2 汽缸活塞類問題的幾種常見類型 1 氣體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài) 需綜合應用氣體實驗定律和物體的平衡條件解題 2 氣體系統(tǒng)處于力學非平衡狀態(tài) 需要綜合應用氣體實驗定律和牛頓運動定律解題 3 封閉氣體的容器 如汽缸 活塞 玻璃管等 與氣體發(fā)生相互作用的過程中 如果滿足守恒定律的適用條件 可根據(jù)相應的守恒定律解題 4 兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體 并且汽缸之間相互關聯(lián)的問題 解答時應分別研究各部分氣體 找出它們各自遵循的規(guī)律 并寫出相應的方程 還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關系式 最后聯(lián)立求解 說明當選擇力學研究對象進行分析時 研究對象的選取并不唯一 可以靈活地選整體或部分為研究對象進行受力分析 列出平衡方程或動力學方程 解析 分析 如圖所示 兩端開口的汽缸水平固定 A B是兩個厚度不計的活塞 可在汽缸內無摩擦滑動 面積分別為S1 20cm2 S2 10cm2 它們之間用一根細桿連接 B通過水平細繩繞過光滑的定滑輪與質量為M 2kg的重物C連接 靜止時汽缸中的氣體溫度T1 600K 汽缸兩部分的氣柱長均為L 已知大氣壓強p0 1 105Pa 取g 10m s2 缸內氣體可看作理想氣體 1 活塞靜止時 求汽缸內氣體的壓強 2 若降低汽缸內氣體的溫度 當活塞A緩慢向右移動時 求汽缸內氣體的溫度 例2 答案 500K 答案 1 2 105Pa 1 設靜止時汽缸內氣體壓強為p1 活塞受力平衡p1S1 p0S2 p0S1 p1S2 Mg代入數(shù)據(jù)解得p1 1 2 105Pa 2 由活塞受力平衡可知缸內氣體壓強沒有變化 設開始溫度為T1 變化后溫度為T2 由蓋 呂薩克定律得代入數(shù)據(jù)解得T2 500K 2014 課標 33 2 如圖所示 兩汽缸A B粗細均勻 等高且內壁光滑 其下部由體積可忽略的細管連通 A的直徑是B的2倍 A上端封閉 B上端與大氣連通 兩汽缸除A頂部導熱外 其余部分均絕熱 兩汽缸中各有一厚度可忽略的絕熱輕活塞a b 活塞下方充有氮氣 活塞a上方充有氧氣 當大氣壓為p0 外界和汽缸內氣體溫度均為7 且平衡時 活塞a離汽缸頂?shù)木嚯x是汽缸高度的 活塞b在汽缸正中間 例3 1 現(xiàn)通過電阻絲緩慢加熱氮氣 當活塞b恰好升至頂部時 求氮氣的溫度 答案 320K 解析 分析 活塞b升至頂部的過程中 活塞a不動 氮氣經(jīng)歷等壓變化 設汽缸A的容積為V0 氮氣初態(tài)的體積為V1 溫度為T1 末態(tài)體積為V2 溫度為T2 按題意 汽缸B的容積為 則 由題給數(shù)據(jù)及蓋 呂薩克定律有 由 式及所給的數(shù)據(jù)可得 T2 320K 2 繼續(xù)緩慢加熱 使活塞a上升 當活塞a上升的距離是汽缸高度的時 求氧氣的壓強 答案 解析 活塞b升至頂部后 由于繼續(xù)緩慢加熱 活塞a開始向上移動 直至活塞上升的距離是汽缸高度的時 活塞a上方的氧氣經(jīng)歷等溫變化 設氧氣初態(tài)的體積為V1 壓強為p1 末態(tài)體積為V2 壓強為p2 由所給數(shù)據(jù)及玻意耳定律可得 p1 V1 p2 V2 由 式可得 p2 p0 多系統(tǒng)問題的處理技巧多個系統(tǒng)相互聯(lián)系的定質量氣體問題 往往以壓強建立起系統(tǒng)間的關系 各系統(tǒng)獨立進行狀態(tài)分析 要確定每個研究對象的變化性質 分別應用相應的實驗定律 并充分應用各研究對象之間的壓強 體積 溫度等量的有效關聯(lián) 若活塞可自由移動 一般要根據(jù)活塞平衡確定兩部分氣體的壓強關系 3 如圖所示 導熱性能極好的汽缸 高為L 1 0m 開口向上固定在水平面上 汽缸中有橫截面積為S 100cm2 質量為m 20kg的光滑活塞 活塞將一定質量的理想氣體封閉在汽缸內 當外界溫度為t 27 大氣壓為p0 1 0 105Pa時 氣柱高度為l 0 80m 汽缸和活塞的厚度均可忽略不計 取g 10m s2 求 答案 解析 1 如果氣體溫度保持不變 將活塞緩慢拉至汽缸頂端 在頂端處 豎直拉力F為多大 240N 設起始狀態(tài)汽缸內氣體壓強為p1 當活塞緩慢拉至汽缸頂端 設汽缸內氣體壓強為p2 由玻意耳定律得p1Sl p2SL在起始狀態(tài)對活塞由受力平衡得p1S mg p0S在汽缸頂端對活塞由受力平衡得F p2S mg p0S聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得F 240N 2 如果僅因為環(huán)境溫度緩慢升高導致活塞上升 當活塞上升到汽缸頂端時 環(huán)境溫度為多少攝氏度 答案 解析 由蓋 呂薩克定律得代入數(shù)據(jù)解得t 102 102 4 2016 全國 卷 33 2 一U形玻璃管豎直放置 左端開口 右端封閉 左端上部有一光滑的輕活塞 初始時 管內汞柱及空氣柱長度如圖所示 用力向下緩慢推活塞 直至管內兩邊汞柱高度相等時為止 求此時右側管內氣體的壓強和活塞向下移動的距離 已知玻璃管的橫截面積處處相同 在活塞向下移動的過程中 沒有發(fā)生氣體泄漏 大氣壓強p0 75 0cmHg 環(huán)境溫度不變 保留三位有效數(shù)字 答案 解析 144cmHg9 42cm 分析 p1 p0 20 0 5 00 cmHg 90cmHgl1 20 0cm l1 20 0 7 5 cm 12 5cm 由玻意耳定律得p1l1S p1 l1 S 聯(lián)立 式和題給條件得p1 144cmHg 依題意p2 p1 l2 4 00cm cm h 11 5cm h 由玻意耳定律得p2l2S p2 l2 S 聯(lián)立 式和題給條件得h 9 42cm 盤查拓展點 3 變質量氣體問題的分析技巧分析變質量氣體問題時 要通過巧妙地選擇研究對象 使變質量氣體問題轉化為定質量氣體問題 用氣體實驗定律求解 1 打氣問題 選擇原有氣體和即將充入的氣體作為研究對象 就可把充氣過程中氣體質量變化問題轉化為定質量氣體的狀態(tài)變化問題 2 抽氣問題 將每次抽氣過程中抽出的氣體和剩余氣體作為研究對象 質量不變 故抽氣過程可以看成是等溫膨脹過程 3 灌氣問題 把大容器中的剩余氣體和多個小容器中的氣體整體作為研究對象 可將變質量問題轉化為定質量問題 4 漏氣問題 選容器內剩余氣體和漏出氣體整體作為研究對象 便可使問題變成一定質量氣體的狀態(tài)變化 可用理想氣體的狀態(tài)方程求解 2013 福建理綜 29 2 某自行車輪胎的容積為V 里面已有壓強為p0的空氣 現(xiàn)在要使輪胎內的氣壓增大到p 設充氣過程為等溫過程 空氣可看作理想氣體 輪胎容積保持不變 則還要向輪胎充入溫度相同 壓強也是p0 體積為 的空氣 典例1 答案 解析 設充入氣體體積為V0 根據(jù)玻意耳定律可得p0 V V0 pV 解得V0 1 V C項正確 如圖所示 一太陽能空氣集熱器 底面及側面為隔熱材料 頂面為透明玻璃板 集熱器容積為V0 開始時內部封閉氣體的壓強為p0 經(jīng)過太陽暴曬 氣體溫度由T0 300K升至T1 350K 1 求此時氣體的壓強 典例2 答案 解析 由題意知氣體體積不變 2 保持T1 350K不變 緩慢抽出部分氣體 使氣體壓強再變回到p0 求集熱器內剩余氣體的質量與原來總質量的比值 答案 解析 抽氣過程可等效為等溫膨脹過程 設膨脹后氣體的總體積為V2 由玻意耳定律可得p1V0 p0V2則所以 集熱器內剩余氣體的質量與原來總質量的比值為 課時作業(yè) 4 1 如圖所示 在長為l 57cm的一端封閉 另一端開口向上的豎直玻璃管內 用4cm高的水銀柱封閉著51cm長的理想氣體 管內外氣體的溫度均為33 現(xiàn)將水銀徐徐注入管中 直到水銀面與管口相平 此時管中氣體的壓強為多少 接著緩慢對玻璃管加熱升溫至多少時 管中剛好只剩下4cm高的水銀柱 大氣壓強為p0 76cmHg 答案 解析 85cmHg318K 1 2 3 4 設玻璃管的橫截面積為S 初態(tài)時 管內氣體的溫度為T1 306K 體積為V1 51S 壓強為p1 80cmHg 當水銀面與管口相平時 水銀柱高為H 則管內氣體的體積為V2 57 H S 壓強為p2 76 H cmHg 由玻意耳定律得p1V1 p2V2代入數(shù)據(jù) 得H2 19H 252 0解得H 9cm或H 28cm 舍去 所以p2 85cmHg設溫度升至T時 水銀柱高為4cm 管內氣體的體積為V3 53S 壓強為p3 80cmHg 由蓋 呂薩克定律得代入數(shù)據(jù) 解得T 318K 1 2 3 4 2 如圖a所示 左端封閉 內徑相同的U形細玻璃管豎直放置 左管中封閉有長為L 20cm的空氣柱 兩管水銀面相平 水銀柱足夠長 已知大氣壓強為p0 75cmHg 1 若將裝置緩慢翻轉180 使U形細玻璃管豎直倒置 水銀未溢出 如圖b所示 當管中水銀靜止時 求左管中空氣柱的長度 答案 解析 將裝置緩慢翻轉180 設左管中空氣柱的長度增加量為h 由玻意耳定律得p0L p0 2h L h 解得h 0或h 17 5cm則左管中空氣柱的長度為20cm或37 5cm 20cm或37 5cm 1 2 3 4 2 若將圖a中的閥門S打開 緩慢流出部分水銀 然后關閉閥門S 右管水銀面下降了H 35cm 求左管水銀面下降的高度 答案 解析 10cm 若將圖a中閥門S打開 緩慢流出部分水銀 然后關閉閥門S 右管水銀面下降了H 35cm 設左管水銀面下降的高度為l 由玻意耳定律得p0L p0 H l L l 解得l 10cm或l 70cm 舍去 即左管水銀面下降的高度為10cm 1 2 3 4 3 2015 課標全國 33 2 如圖 一固定的豎直汽缸由一大一小兩個同軸圓筒組成 兩圓筒中各有一個活塞 已知大活塞的質量為m1 2 50kg 橫截面積為S1 80 0cm2 小活塞的質量為m2 1 50kg 橫截面積為S2 40 0cm2 兩活塞用剛性輕桿連接 間距保持為l 40 0cm 汽缸外大氣的壓強為p 1 00 105Pa 溫度為T 303K 初始時大活塞與大圓筒底部相距 兩活塞間封閉氣體的溫度為T1 495K 現(xiàn)汽缸內氣體溫度緩慢下降 活塞緩慢下移 忽略兩活塞與汽缸壁之間的摩擦 重力加速度大小g取10m s2 求 1 在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間 汽缸內封閉氣體的溫度 答案 解析 330K 1 2 3 4 大小活塞在緩慢下移過程中 受力情況不變 汽缸內氣體壓強不變 由蓋 呂薩克定律得初狀態(tài)V1 S1 S2 T1 495K末狀態(tài)V2 lS2代入可得T2 T1 330K 1 2 3 4 2 缸內封閉的氣體與缸外大氣達到熱平衡時 缸內封閉氣體的壓強 答案 解析 1 01 105Pa 1 2 3 4 對大 小活塞受力分析則有m1g m2g pS1 p1S2 p1S1 pS2可得p1 1 1 105Pa缸內封閉的氣體與缸外大氣達到熱平衡過程中 氣體體積不變 由查理定律得T3 T 303K解得p2 1 01 105Pa 1 2 3 4 4 如圖所示 內壁光滑 長度均為4l 橫截面積均為S的汽缸A B A水平 B豎直固定 之間由一段容積可忽略的細管相連 整個裝置置于溫度為27 大氣壓為p0的環(huán)境中 活塞C D的質量及厚度均忽略不計 原長3l 勁度系數(shù)k 的輕彈簧 一端連接活塞C 另一端固定在位于汽缸A缸口的O點 開始活塞D距汽缸B的底部3l 后在D上放一質量為m 的物體 求 1 穩(wěn)定后活塞D下降的距離 答案 解析 1 2 3 4 由于活塞的質量不計 所以初始狀態(tài)汽缸A B中的氣體壓強都為大氣壓p0 彈簧彈力為零 所以活塞C到汽缸A底部的距離為x1 l放上物體穩(wěn)定后汽缸A B中氣體的壓強都為p1 對D活塞有p1S mg p0S對活塞C有p1S F1 p0SF1為彈簧的彈力 F1 k x1 聯(lián)立以上三式可求得彈簧被壓縮 x1 此時活塞C距汽缸底部的距離為x2 初態(tài)下氣體的總體積V0 4lS 末態(tài)總體積為V1 由玻意耳定律p0V0 p1V1解得V1 2lS由此可知活塞D下降的距離為 1 2 3 4 2 改變汽缸內氣體的溫度使活塞D再回到初位置 則氣體的溫度應變?yōu)槎嗌?答案 解析 377 改變氣體溫度使活塞D回到初位置 氣體為等壓變化 所以彈簧位置不變 V2 由蓋 呂薩克定律解得T2 650K 所以氣體此時的溫度為t 377 1 2 3 4