第二章 運動定律與力學中的守恒定律2-1 如圖所示，質量為的物體用平行于斜面的細線連接并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速運動，當物體剛脫離斜面時，它的加速度的大小為（D）（A） ；（B）；（C）（D）題2-1圖2-2 一段路面水平的公路，轉彎處軌道半徑為，汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為，要使汽車不至于發(fā)生側向打滑，汽車在該處的行使速率（C ）（A）不得小于 ；（B）必須等于；（C）不得大于； （D）還應由汽車的質量決定2-3對質點組有以下幾種說法：（1） 質點組總動量的改變與內力無關；（2） 質點組總動能的改變與內力無關；（3） 質點組機械能的改變與保守內力無關。下列對上述說法判斷正確的是（ C ）（A） 只有（1）是正確的 （B） （1）、（2）是正確的（C） （1）、（3）是正確的 （D） （2）、（3）是正確的2-4 對功的概念有以下幾種說法：（1） 保守力作正功時，系統(tǒng)內相應的勢能增加；（2） 質點運動經一閉合路徑，保守力對質點作的功為零；（3） 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。下列對上述說法判斷正確的是（ C ）（A） （1）、（2）是正確的 （B） （2）、（3）是正確的（C） 只有（2）是正確的 （D） 只有（3）是正確的2-5如圖所示，子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出。以地面為參考系，下列說法中正確的說法是（ ）（A） 子彈減少的動能轉變?yōu)槟緣K的動能（B） 子彈-木塊系統(tǒng)地的機械能守恒（C） 子彈動能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的動（D） 子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產生的熱2-6 有兩個力作用在一個有固定轉軸的剛體上：（1） 這兩個力都平行于軸作用時，他們對軸的合力矩一定是零；（2） 這兩個力都垂直于軸作用時，他們對軸的合力矩可能是零；（3） 當這兩個力的合力為零時，他們對軸的合力矩也一定是零；（4） 當這兩個力對軸的合力矩為零時，他們的合力也一定是零。對上述說法，下述判斷正確的是（ ）（A） 只有（1）是正確的 （B） （1）、（2）正確，（3）、（4）錯誤（C）（1）、（2）、（3）正確，（4）錯誤 （D） （1）、（2）、（3）、（4）都正確2-7 關于力矩有以下幾種說法：（1） 對某個定軸轉動剛體而言，內力矩不會改變剛體的角加速度；（2） 一對作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零；（3） 質量相等，形狀和大小不同的兩個剛體，在相同力矩的作用下，它們的運動狀態(tài)一定相同。對上述說法，下述判斷正確的是（ ）（A） 只有（2）是正確的 （B） （1）、（2）是正確的（C） （2）、（3）是正確的 （D） （1）、（2）、（3）都是正確的2-8 均勻細棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉動，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺到豎直位置的過程中，下述說法正確的是（ ）（A） 角速度從小到大，角加速度不變（B） 角速度從小到大，角加速度從小到大（C） 角速度從小到大，角加速度從大到小（D） 角速度不變，角加速度為零2-9一圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的水平軸轉動，軸間摩擦不計。如圖射來兩個質量相同、速度大小相同、方向相反并在一條直線上的子彈，它們同時射入圓盤并且留在盤內，在子彈射入后的瞬間，對于圓盤和子彈系統(tǒng)的角動量L以及圓盤的角速度則有（ ）（A） L不變，增大 （B）兩者均不變（C） L不變，減小 （D）兩者均不確定2-10假設衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作橢圓運動，則在運動過程中，衛(wèi)星對地球中心的（ ）（A） 角動量守恒，動能守恒 （B） 角動量守恒，機械能守恒（C） 角動量不守恒，機械能守恒 （D） 角動量不守恒，動量也不守恒（E） 角動量守恒，動量也守恒2-11質量的物體沿X軸無摩擦地運動，設時物體位于原點，速度為零（即）。求物體在力的作用下運動到處的加速度及速度的大小。解：由于物體作直線運動，所以其加速度和速度均可當標量處理。由牛頓第二定律得 ，將代入上式，得 因，所以由 ，對上式兩邊取積分并代入初始條件，得，解之得 將代入上式，得2-12一輛汽車總質量kg，在速度為 m·s-1時開始剎車（），若阻力與時間成正比，比例系數(shù)N·s-1求：s時汽車的速率解 由牛頓定律 得 所以，s時 m·s-12-13質量為，初速度為的物體，所受阻力為，求其運動至速度所需要的時間？ 解： 2-14一滑塊質量m=1kg，在力 N的作用下沿X軸作直線運動，在時質點在m初，速度m·s-1,求質點任意時刻的速度和位置。解： 時 m·s-1 解得 m·s-1 又 且 時 m m 2-15在光滑水平面上固定了一個半徑為的圓環(huán)，一個質量為的物體以初速度為靠圓環(huán)內壁作圓周運動，物體與環(huán)壁的摩擦系數(shù)為，試求物體任一時刻的速率？解：以物體作為研究對象。物體除受到重力，水平面的支持力外，還在水平面受到環(huán)壁的正壓力和滑動摩擦力，如圖所示。由于在水平面內作減速圓周運動，存在切向加速度和法向加速度，所以可選擇自然坐標分量式表示牛頓方程。根據(jù)題意，列出下列方程：將式（2）和（3）代入式（1）得，將上式分離變量得將上式變成積分形式，上式積分得 2-16一物體放置在水平面上，已知物體質量，與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)。要使物體沿水平面勻速運動，試求這時拉力的最小值及拉力的方向。解：如圖所示。物體受到的4個力:重力、滑動摩擦力、支持力及拉力，各力方向如圖所示。由于拉力的方向未知，因而假設拉力與水平方向成角。在這里，不能吧拉力視作水平方向上的力，否則將不合題意。選取直角坐標系，坐標原點取在的質心上，軸水平向右，軸豎直向上。根據(jù)題意，由牛頓方程得：可以看出，上述方程的未知數(shù)有4個，而方程個數(shù)只有3個，及是解不出來的。所以還要尋找一個方程。必須從隱含的已知條件去找。仔細審題會發(fā)現(xiàn)，題中的最小值沒有在上述方程中得到體現(xiàn)，所以這個要找的方程就是： ，由式（1）、（2）及（3）可得：將上式代入式（4），得：，由高等數(shù)學知識可得：當時，拉力有最小值，拉力大小為：拉力方向為:與水平面成的夾角。2-17如圖所示，在水平地面上，有一橫截面的直角彎管，管中有流速為的水通過，求彎管所受力的大小和方向。解：在時間內，從管一端流入（或流出）水的質量為,彎曲部分AB的水的動量的增量則為依據(jù)動量定理，得到管壁對這部分水的平均沖力從而可得水流對管壁作用力的大小為：作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側。2-18一鏈條，總長為l，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，長度為a，如圖 所示。假定開始時鏈條靜止。求鏈條剛剛離開桌邊時的速度。解：選取桌邊的坐標原點，向下為x軸正向，向下dx元功為 其中x為下垂端的坐標。鏈條剛離開桌面時，因為所以，所以2-19一物體在介質中按規(guī)律作直線運動，為一常量。設介質對物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由運動到時，阻力所作的功。（已知阻力系數(shù)為） 解：由運動學方程，可得物體的速度,按題意及上述關系，物體所受阻力的大小為,則阻力的功為:2-20一人從10.00m深的井中提水，起始桶中裝有10.00kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。解：水桶在勻速上提過程中，a = 0，拉力與水桶重力平衡，有在圖示所取坐標下，水桶重力隨位置的變化關系為其中a = 0.2 kg/m，人對水桶的拉力的功為2-21 一沿x軸方向的力作用在質量為m = 3.0 kg的質點上。已知質點的運動方程為求：(1)力在最初4s內做的功；(2)在t = 1 s時，力的瞬時功率。解題 (1)力做的功： （牛頓第二定律），(2)功率：，2-22如圖所示，有一自動卸貨礦車，滿載時的質量為，從與水平成傾角斜面上的點由靜止下滑。設斜面對車的阻力為車重的倍，礦車下滑距離時，礦車與緩沖彈簧一道沿斜面運動。當?shù)V車使彈簧產生最大壓縮形變時，礦車自動卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問要完成這一過程，空載時與滿載時車的質量之比應為多大？ 解：取沿斜面向上為x軸正方向。彈簧被壓縮到最大形變時彈簧上端為坐標原點O。礦車在下滑和上行的全過程中，按題意，摩擦力所作的功為         （1）式中m¢和m分別為礦車滿載和空載時的質量，x為彈簧最大被壓縮量。根據(jù)功能原理，在礦車運動的全過程中，摩擦力所作的功應等于系統(tǒng)機械能增量的負值，故有由于礦車返回原位時速度為零，故；而，故有         （2）由式（1）、（2）可解得:2-23如圖，質量kg的實心圓柱體A其半徑為 cm，可以繞其固定水平軸轉動，阻力忽略不計，一條輕繩繞在圓柱體上，另一端系一個質量kg的物體B，求：（1）物體B下落的加速度；（2）繩的張力。解： （1） 對實心圓柱體A，利用轉動定律 對物體B，利用牛頓定律 有角量與線量之間的關系 解得： m·s-2 （2）由得 2-24如圖,一定滑輪兩端分別懸掛質量都是m的物塊A和B，圖中R和r，已知滑輪的轉動慣量為J，求A、B兩物體的加速度及滑輪的角加速度（列出方程即可）。解： rRAB五個方程，五個未知數(shù)，可解出所要求的量。2-25如圖，半徑為r的定滑輪，繞軸的轉動慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質量為和的物體A、BA置于傾角為的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為，若B向下作加速運動，求 物體B其下落的加速度大小. (設繩的質量及伸長均不計，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑)解：設繩子張力為，則對物體A有：對物體B有：對滑輪有： 又： 可解得：2-26一飛輪的轉動慣量為J，在t=0時角速度為.此后飛輪經歷制動過程。阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù),求（1）當時，飛輪的角加速度；（2）從開始制動到所經歷的時間。解：（1） （2） 2-27 一質量為60.0kg的人，站在一半徑為3.00m，轉動慣量為450kg.m2的靜止轉臺邊緣上，此轉臺可繞通過轉臺中心的豎直軸轉動，轉臺與軸之間的摩擦不計。如果人相對地面以m.s的速率沿轉臺邊緣行走，問轉臺相對地面的角速度有多大？方向如何？解：人和轉臺可以看作是一個定軸轉動系統(tǒng)。人與轉臺之間的相互作用力為內力，外力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒。設轉臺的轉動慣量為，轉臺相對地面的角速度為，人的轉動慣量為，由于系統(tǒng)初始是靜止的，則有： 由此可得： 代入=450kg.m2， kg.m2,m.s可得：。負號表示轉臺轉動方向與人對地面的轉動方向相反。2-28有一半徑為，質量為的勻質圓盤水平放置，此盤可繞通過盤心的鉛直軸自由轉動。當圓盤以的角速度轉動時，恰有一質量為的橡皮泥（可視為質點）從豎直方向落在盤上距轉軸處，并粘在此處。求橡皮泥粘在圓盤上后圓盤仍以水平轉動的角速度大小。解：取橡皮泥粘和圓盤為一系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平面內的力矩為零，角動量守恒。所以有：解得： 2-29如圖所示，長為，質量為的勻質細棒可繞其一端的軸在豎直平面內轉動，開始時靜止于豎直位置上。現(xiàn)有一質量為的子彈以速率水平射入棒的下端并陷入桿內。若不計一切摩擦，求：（1）子彈設入后棒所獲得的初角速度；（2）細棒所能偏轉的最大角解：（1）取棒和子彈為一系統(tǒng)，系統(tǒng)對點的力矩為零，故系統(tǒng)對點的角動量守恒。所以有： 得 （2）取地球、棒和子彈為一系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒。選棒的底端為勢能零點，并設細棒所能偏轉的最大角度為，則有由此可得：2-30如圖所示。一質量為的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦的水平面上，繞以半徑為的圓周運動。如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力。小球以半徑為的圓周運動。試求：（1）小球的新角速度；（2）拉力做的功。解：（1）沿軸向的拉力對小球不產生力矩，小球由繞半徑到沿半徑的圓周運動中，角動量守恒。有： 其中，則： （2）由于小球的速度增加，其轉動動能也增加，這就是拉力做功的結果。由轉動的動能定理：2-31一水平圓盤繞通過圓心的豎直軸轉動，角速度為1，轉動慣量為J1在其上方還有一個以角速度2繞同一豎直軸轉動的圓盤，這圓盤的轉動慣量為J2，兩圓盤的平面平行，圓心都在豎直軸上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。（1）求兩盤合成一體后系統(tǒng)的角速度的大??？（2）第二個圓盤落下后，兩盤的總動能改變了多少？解：（1）兩圓盤合為一體過程中，沒有受到外力矩作用，故角動量守恒， 即： 為兩圓盤合為一體后的角動量，由于合為一體前后兩圓盤均繞相同的軸轉動，故有 代入上式，系統(tǒng)的角速度大小為 （2）合為一體后系統(tǒng)的動能為： 合成前的總動能為則系統(tǒng)動能改變量為 改變量為負值，說明系統(tǒng)合成后動能減小。2-32如圖，一長L、質量為m的細棒可繞其一端自由轉動，若棒在水平位置由靜止自由轉下，求棒轉到與水平線成角度q 時的角速度、角加速度.解：應用轉動定律求角加速度. 因為，所以應用動能定理求角速度：即 解得： .