習(xí)題課 概率 1 事件的分類 2 概率的性質(zhì) 1 必然事件的概率為1 2 不可能事件的概率為0 3 隨機(jī)事件A的概率為0 P A 1 3 古典概型的特征 1 有限性 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè) 每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果 2 等可能性 每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 4 古典概型的計(jì)算公式 5 互斥事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件 6 對(duì)立事件一般地 在同一次試驗(yàn)中 不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件 7 幾何概型的概率計(jì)算公式 做一做1 有下列現(xiàn)象 早晨太陽從東方升起 連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次 兩次都出現(xiàn)正面向上 異性電荷相互吸引 其中隨機(jī)現(xiàn)象的個(gè)數(shù)為 A 0B 1C 2D 3答案 B 做一做2 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是5的概率是 答案 D 做一做3 根據(jù)多年氣象統(tǒng)計(jì)資料 某地6月1日下雨的概率為0 45 陰天的概率為0 20 則該日晴天的概率為 A 0 65B 0 55C 0 35D 0 75解析 P 1 0 45 0 20 0 35 答案 C 做一做4 在甲 乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1 2 3 4的四個(gè)小球 小球除標(biāo)號(hào)外都相同 現(xiàn)從甲 乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)小球 每個(gè)小球被取出的可能性相等 1 求取出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)恰好相同的概率 2 求取出的兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)至少有一個(gè)大于2的概率 解 利用樹狀圖可以列出從甲 乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球的所有可能結(jié)果 可以看出 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果有16種 且每種結(jié)果都是等可能的 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 隨機(jī)事件的頻率與概率 例1 對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢 結(jié)果如下表 1 計(jì)算表中次品的頻率 2 從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少 3 為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換 要銷售2000個(gè)U盤 至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤 分析 根據(jù)頻率是概率的近似值可求得 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 解 1 表中次品頻率從左到右依次為0 06 0 04 0 025 0 017 0 02 0 018 2 當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí) 出現(xiàn)次品的頻率在0 02附近擺動(dòng) 所以從這批U盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是0 02 3 設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤 為保證其中有2000個(gè)正品U盤 則x 1 0 02 2000 因?yàn)閤是正整數(shù) 所以x 2041 即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤 反思感悟隨機(jī)事件的頻率和概率需要注意以下兩點(diǎn) 1 理解頻率和概率的定義和意義 明確頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系 2 能正確利用頻率估計(jì)概率 并且要明確只有抽取件數(shù)越來越大時(shí) 出現(xiàn)次品的概率才可用對(duì)應(yīng)的頻率近似估計(jì) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練1如表為某健康調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查某地區(qū)各中學(xué)學(xué)生眼睛近視情況所得數(shù)據(jù) 其中n為調(diào)查人數(shù) m為眼睛近視人數(shù) 為眼睛近視的頻率 則a 從該地區(qū)任選一名學(xué)生 該學(xué)生眼睛近視的概率約為 解析 a 0 32 該地區(qū)學(xué)生眼睛近視的頻率在0 29附近波動(dòng) 所以從該地區(qū)任選一名學(xué)生 該學(xué)生眼睛近視的概率約為0 29 答案 0 320 29 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 古典概型 例2 隨意安排甲 乙 丙3人在3天節(jié)日中值班 每人值班1天 1 這3人的值班順序共有多少種不同的安排方法 2 其中甲在乙之前的安排方法有多少種 3 甲安排在乙之前的概率是多少 分析 解決本題可先借助樹狀圖分析所有可能的基本事件總數(shù)及所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù) 再由古典概型的概率計(jì)算公式求出該事件的概率 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 解 1 畫樹狀圖如下 故不同的安排方法共有6種 2 由圖知 甲在乙之前的排法有3種 3 由古典概型的概率公式 得甲安排在乙之前的概率為 反思感悟1 畫樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法 2 從不同的角度去考慮一個(gè)實(shí)際問題 可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決 而所得到的古典概型的所有可能的結(jié)果越少 問題的解決就變得越簡(jiǎn)單 要注意 一題多解 和 多題一解 3 解答古典概型的概率問題時(shí) 要抓住問題實(shí)質(zhì) 建立合適的概率模型 以簡(jiǎn)化運(yùn)算 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練2設(shè)M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 任取x y M x y 求x y是3的倍數(shù)的概率 解 利用列表法列舉 由表可知 基本事件總數(shù)n 9 10 90 而x y是3的倍數(shù)的情況有m 30種 故所求事件的概率為 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 互斥事件及概率加法公式的應(yīng)用 例3 盒中有6只燈泡 其中2只次品 4只正品 有放回地從中任取兩次 每次取一只 試求下列事件的概率 1 取到的2只都是次品 2 取到的2只中正品 次品各一只 3 取到的2只中至少有一只正品 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 解析 設(shè) 電話響第一聲被接 為事件A 電話響第二聲被接 為事件B 電話響第三聲被接 為事件C 電話響第四聲被接 為事件D 則A B C D兩兩互斥 從而P A B C D P A P B P C P D 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 幾何概型 例4 甲 乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面 并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘 到時(shí)即可離去 求兩人能會(huì)面的概率 分析 甲 乙兩人中每人到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的時(shí)刻都是6時(shí)到7時(shí)之間的任一時(shí)刻 如果在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間 y軸表示乙到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間 用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段 則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中 任一點(diǎn)的坐標(biāo) x y 就表示甲 乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間 而能會(huì)面的時(shí)間由 x y 15所對(duì)應(yīng)的圖形區(qū)域表示 因?yàn)槊咳说竭_(dá)的時(shí)間都是隨機(jī)的 所以正方形內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都是等可能被取到的 即基本事件等可能發(fā)生 所以兩人能會(huì)面的概率問題可以轉(zhuǎn)化成與面積有關(guān)的幾何概型問題 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 解 以x軸和y軸分別表示甲 乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間 則兩人能夠會(huì)面的充要條件是 x y 15 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 x y 的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形 而事件A 兩人能夠會(huì)面 的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示 由幾何概型的概率公式 得 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟本題的難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x y兩個(gè)坐標(biāo)軸表示 構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn) x y 從而把時(shí)間這個(gè)一維長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題 轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問題 這種方法是解決這類問題的常用手法 但解決問題的關(guān)鍵是要正確地作出圖示 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練4如圖 在圓心角為90 的扇形中 以圓心O為起點(diǎn)作射線OC 使得 AOC和 BOC都不小于30 的概率為 解析 作 AOE BOD 30 如圖所示 隨機(jī)試驗(yàn)中 射線OC可能落在扇形AOB內(nèi)任意一條射線上 而要使 AOC和 BOC都不小于30 則OC落在扇形DOE內(nèi) 所以概率P 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 典例 某地外出務(wù)工人員有1000人 其中高中及以上學(xué)歷有800人 高中以下學(xué)歷有200人 現(xiàn)用分層抽樣的方法從該地外出務(wù)工人員中抽查100人 調(diào)查他們的月收入情況 從高中及以上學(xué)歷人群中抽查結(jié)果和從高中以下學(xué)歷人群中抽查結(jié)果分別如表 和表 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 1 先確定x y的值 再補(bǔ)齊圖 圖 的頻率分布直方圖 并根據(jù)頻率分布直方圖分別估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的區(qū)間 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 2 估計(jì)高中及以上學(xué)歷外出務(wù)工人員月收入的平均值與高中以下外出務(wù)工人員月收入的平均值哪個(gè)更高 在抽查的100人中從高中以下學(xué)歷月收入在2000 3000元之間的人員中 抽查兩人了解其工作環(huán)境 求抽查的兩人中至少有1人月收入不少于2500元的概率 思路點(diǎn)撥 1 先要明確抽樣比 以便求出x和y 再根據(jù)中位數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系求解 2 用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)近似求平均數(shù)有如下關(guān)系 其中xn是第n個(gè)小長(zhǎng)方形區(qū)間的中點(diǎn)值 fn是其對(duì)應(yīng)的頻率 此問屬于古典概型 關(guān)鍵是對(duì)抽查的人進(jìn)行標(biāo)記 列舉出所有的基本事件 然后根據(jù)公式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 解 1 高中及以上學(xué)歷務(wù)工人員和高中以下學(xué)歷務(wù)工人員分別抽查80人和20人 8 16 x 24 80 x 32 4 8 3 y 2 20 y 3 頻率分布直方圖如下 圖 中前2個(gè)矩形面積和為0 1 0 2 0 3 第三個(gè)矩形面積為 中位數(shù)在區(qū)間 2500 3000 內(nèi) 圖 中前2個(gè)矩形面積為0 2 0 4 0 6 中位數(shù)在區(qū)間 1500 2000 內(nèi) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 高中以下學(xué)歷務(wù)工人員月收入2000 3000元之間人員共6人 其中2000 2500元之間有3人 設(shè)為A1 A2 A3 在2500 3000元之間有3人 設(shè)為B1 B2 B3 從6人抽查2人 共有 A1 A2 A1 A3 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 A3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A3 B1 A3 B2 A3 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 15個(gè)基本事件 事件A 抽查的兩人至少有一人月收入不小于2500元 共包含 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A3 B1 A3 B2 A3 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 12個(gè)基本事件 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 歸納總結(jié)1 本題屬于典型的概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相互交融的題目 近幾年高考中已成為命題的主方向 2 對(duì)于本題 要注意中位數(shù) 平均數(shù)與頻率分布直方圖的隱含關(guān)系 并且在平時(shí)訓(xùn)練中要加強(qiáng)對(duì)頻率分布直方圖的識(shí)圖能力 3 要善于挖掘題目中的隱含信息 初步體會(huì)化歸 估算等思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 1 下列事件屬于古典概型的是 A 任意拋擲兩枚不均勻的骰子 所得點(diǎn)數(shù)之和為基本事件B 籃球運(yùn)動(dòng)員投籃 觀察其是否投中C 測(cè)得某天12時(shí)的教室溫度D 一先一后擲兩枚均勻硬幣 觀察正 反面出現(xiàn)情況解析 根據(jù)古典概型的特征可知 A中不是等可能事件 B中不知道投籃次數(shù) 且該事件是隨機(jī)事件 只能計(jì)算他本次投籃命中的頻率 C中溫度值是一連續(xù)值 其可能的結(jié)果有無限個(gè) 因此A B C均不是古典概型 故選D 答案 D 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 2 如圖 在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子 有180粒落到陰影部分 據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 A 0 18B 0 36C 0 018D 0 036答案 A3 從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件 設(shè)事件A 抽到一等品 事件B 抽到二等品 事件C 抽到三等品 且已知P A 0 65 P B 0 2 P C 0 1 則事件 抽到的不是一等品 的概率為 A 0 7B 0 65C 0 35D 0 3解析 事件A 抽到一等品 且P A 0 65 事件 抽到的不是一等品 的概率為P 1 P A 1 0 65 0 35 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 4 歐陽修 賣油翁 中寫到 翁 乃取一葫蘆置于地 以錢覆其口 徐以杓酌油瀝之 自錢孔入 而錢不濕 可見 行行出狀元 賣油翁的技藝讓人嘆為觀止 若銅錢是直徑為3cm的圓面 中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔 若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油 則油正好落入孔中的概率為 油滴的大小忽略不計(jì) 探究一 探究二 探究三 探究四 規(guī)范解答 當(dāng)堂檢測(cè) 5 有朋自遠(yuǎn)方來 他乘火車 輪船 汽車 飛機(jī)來的概率分別為0 3 0 2 0 1 0 4 試問 1 他乘火車或乘飛機(jī)來的概率 2 他不乘輪船來的概率 3 如果他來的概率為0 5 請(qǐng)問他有可能是乘何種交通工具來的 解 記 他乘火車來 為事件A1 他乘輪船來 為事件A2 他乘汽車來 為事件A3 他乘飛機(jī)來 為事件A4 這四個(gè)事件中任兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生 故它們彼此互斥 1 P A1 A4 P A1 P A4 0 3 0 4 0 7 即他乘火車或乘飛機(jī)來的概率為0 7 即他不乘輪船來的概率為0 8 3 因?yàn)? 3 0 2 0 5 0 1 0 4 0 5 所以他有可能是乘火車或輪船來的 也有可能是乘汽車或飛機(jī)來的