第二課時平面與平面垂直 目標(biāo)導(dǎo)航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成 知識探究 1 平面與平面垂直如果兩個相交平面的交線與 又這兩個平面與第三個平面相交所得的 就稱這兩個平面互相垂直 第三個平面垂直 兩條交線互相垂直 2 判定定理如果一個平面過另一個平面的 則兩個平面互相垂直 3 性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直 那么在一個平面內(nèi)垂直于另一個平面 一條垂線 垂直于它們交線的直線 拓展延伸 平面與平面垂直的判定1 證明面面垂直的一般思路 在一個平面內(nèi)尋找一條直線或作一條直線使之與另一個平面垂直 把問題轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直 2 證明兩個平面垂直 通常是通過證明線線垂直 線面垂直 面面垂直來實現(xiàn)的 因此 在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直 線面垂直 面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示 自我檢測 1 空間四邊形ABCD中 若AD BC BD AD 那么有 A 平面ABC 平面ADC B 平面ABC 平面ADB C 平面ABC 平面DBC D 平面ADC 平面DBC D 2 平面 以及直線l滿足 且l 則一定有 A l B l C l與 相交 D l 或l 或l與 相交 D 解析 因為 且l 故l與平面 可以平行 可以相交 也可以在平面 內(nèi) 3 下列命題錯誤的是 A 若一直線垂直于一平面 則此直線必垂直于這平面上所有直線 B 若一個平面通過另一個平面的一條垂線 則這兩個平面互相垂直 C 若一直線垂直于一個平面的一條垂線 則此直線必平行于這個平面 D 若平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線的射影垂直 則它也和這條斜線垂直 C 解析 由線面垂直的定義知 A正確 由面面垂直的判定定理知 B正確 若一直線垂直于一個平面的一條垂線 則此直線可能平行于這個平面 也可能在這個平面內(nèi) C錯誤 由線面垂直的判定定理知 D正確 故選C 4 已知 是兩個不同的平面 m n是平面 及 之外的兩條不同直線 給出四個論斷 m n n m 以其中三個論斷作為條件 余下一個論斷作為結(jié)論 寫出你認(rèn)為正確的一個命題 解析 由m n m n 知n 又n 所以 由 n n 知n 又m 所以m n 答案 或 類型一 平面與平面垂直的判定 課堂探究 素養(yǎng)提升 例1 2017 北京卷 如圖 在三棱錐P ABC中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D為線段AC的中點 E為線段PC上一點 1 求證 PA BD 1 證明 因為PA AB PA BC 所以PA 平面ABC 又因為BD 平面ABC 所以PA BD 2 求證 平面BDE 平面PAC 3 當(dāng)PA 平面BDE時 求三棱錐E BCD的體積 2 證明 因為AB BC D為AC的中點 所以BD AC 由 1 知 PA BD 所以BD 平面PAC 所以平面BDE 平面PAC 方法技巧證明面面垂直的關(guān)鍵是將證明的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題 在處理時 應(yīng)從已知入手 分析已有的垂直關(guān)系 再從結(jié)論入手 分析要證明的垂直關(guān)系 從而架起已知與未知之間的 橋梁 變式訓(xùn)練1 1 如圖所示 已知 BSC 90 BSA CSA 60 又SA SB SC 求證 平面ABC 平面SBC 法二 利用判定定理 因為SA SB SC 且 BSA CSA 60 所以SA AB AC 所以點A在平面SBC上的射影為 SBC的外心 因為 SBC為直角三角形 所以點A在 SBC上的射影D為斜邊BC的中點 所以AD 平面SBC 又因為AD 平面ABC 所以平面ABC 平面SBC 類型二 平面與平面垂直的性質(zhì) 例2 如圖所示 P是 ABC所在平面外的一點 且PA 平面ABC 平面PAC 平面PBC 求證 BC AC 證明 如圖所示 在平面PAC內(nèi)作AD PC交PC于D 因為平面PAC 平面PBC AD 平面PAC 且平面PAC 平面PBC PC 所以AD 平面PBC 又BC 平面PBC 所以AD BC 因為PA 平面ABC BC 平面ABC 所以PA BC 因為AD PA A 所以BC 平面PAC 又AC 平面PAC 所以BC AC 方法技巧已知條件是線面垂直和面面垂直 要證明兩條直線垂直應(yīng)將兩條直線中的一條納入一平面中 使另一條直線與該平面垂直 即從線面垂直得到線線垂直 在空間幾何圖形中 高一級的垂直關(guān)系蘊含著低一級的垂直關(guān)系 通過本題可以看到 面面垂直 線面垂直 線線垂直 變式訓(xùn)練2 1 已知 是三個不同的平面 l 求證 l 證明 法一設(shè) a b 在 內(nèi)作m a 在 內(nèi)作n b 如圖所示 因為 所以m n 所以m n 又n m 所以m 又 l m 所以m l 則l a l b 所以l 法二設(shè) a b 在 內(nèi)任取一點P 過P在 內(nèi)作直線m a n b 如圖所示 因為 所以m n 又因為 l 所以m l n l 所以l 類型三 線線 線面 面面垂直的綜合應(yīng)用 例3 2017 全國 卷 如圖 在四棱錐P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 證明 平面PAB 平面PAD 1 證明 由已知 BAP CDP 90 得AB AP CD PD 由于AB CD 故AB PD 從而AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 變式訓(xùn)練3 1 如圖所示 ABC為正三角形 EC 平面ABC BD CE 且CE CA 2BD M是EA的中點 求證 1 DE DA 2 平面BDM 平面ECA 3 平面DEA 平面ECA 3 由 2 知DM BN BN 平面ECA 所以DM 平面ECA 因為DM 平面DEA 所以平面DEA 平面ECA 謝謝觀賞