2 4空間直角坐標系2 4 1空間直角坐標系 目標導航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成 知識探究 1 空間直角坐標系 1 為了確定空間點的位置 我們在平面直角坐標系xOy的基礎上 通過原點O 再作一條數(shù)軸z 使它與x軸 y軸都垂直 這樣它們中的任意兩條都 軸的方向通常這樣選擇 從z軸的正方向看 x軸的正半軸沿時針方向轉90 能與y軸的正半軸重合 這時 我們說在空間建立了一個空間直角坐標系Oxyz O叫做坐標原點 互相垂直 點擊進入情境導學 逆 2 過空間中的任意一點P 作一個平面平行于平面yOz 這個平面與x軸的交點記為Px 它在x軸上的坐標為x 這個數(shù)x就叫做點P的 過點P作一個平面平行于平面xOz 這個平面與y軸的交點記為Py 它在y軸上的坐標為y 這個數(shù)y就叫做點P的 過點P作一個平面平行于坐標平面xOy 這個平面與z軸的交點記為Pz 它在z軸上的坐標為z 這個數(shù)z就叫做點P的 這樣 我們對空間中的一個點 定義了三個實數(shù)的有序數(shù)組作為它的坐標 記作 每兩條坐標軸分別確定的平面 叫做坐標平面 x坐標 y坐標 z坐標 P x y z yOz xOz xOy 2 空間特殊平面與特殊直線xOy平面是坐標形如的點構成的點集 xOz平面是坐標形如的點構成的點集 yOz平面是坐標形如的點構成的點集 x軸是坐標形如的點構成的點集 y軸是坐標形如的點構成的點集 z軸是坐標形如的點構成的點集 其中 x y z為任意的實數(shù) 3 空間結構三個坐標平面把空間分為部分 每一部分稱為一個 在坐標平面xOy上方 分別對應該坐標平面上四個象限的卦限稱為第 卦限 在下方的卦限稱為第 卦限 x y 0 x 0 z 0 y z x 0 0 0 y 0 0 0 z 卦限 八 拓展延伸 空間中的對稱問題空間中點關于坐標平面 點關于軸 點關于點的對稱點如下 A x y z 關于坐標平面xOy對稱的點為A1 x y z A x y z 關于坐標平面yOz對稱的點為A2 x y z A x y z 關于坐標平面xOz對稱的點為A3 x y z A x y z 關于x軸對稱的點為A4 x y z A x y z 關于y軸對稱的點為A5 x y z A x y z 關于z軸對稱的點為A6 x y z A x y z 關于原點對稱的點為A7 x y z 因此 我們可以總結出如下規(guī)律 某面對稱某不變 如A x y z 關于坐標平面xOy對稱的點為A1 x y z 這里x y的符號不變 某軸對稱某不變 如A x y z 關于y軸對稱的點為A5 x y z 這里y的符號不變 原點對稱均相反 如A x y z 關于原點對稱的點為A7 x y z 這里x y z都變?yōu)槠湎喾磾?shù) 這些規(guī)律要結合圖形記憶 不能死記硬背 自我檢測 C 1 有下列敘述 在空間直角坐標系中 在Ox軸上的點的坐標一定是 0 b 0 在空間直角坐標系中 在yOz平面上的點的坐標一定可寫成 0 b c 在空間直角坐標系中 在Oz軸上的點的坐標可記為 0 0 c 在空間直角坐標系中 在xOz平面上的點的坐標可寫為 a 0 c 其中正確的個數(shù)是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由空間直角坐標系中各坐標的定義知 錯誤 應為 a 0 0 均正確 故選C C 2 在如圖所示的空間直角坐標系的直觀圖中 正確的個數(shù)為 解析 由空間直角坐標系的畫法知 3 錯誤 x軸與y軸應互換 1 2 4 均正確 即符合右手直角坐標系 故選C A 1 B 2 C 3 D 4 D 3 在空間直角坐標系中 點A 1 0 1 在 A x軸上 B xOy平面上 C yOz平面上 D xOz平面上 解析 由于y 0 故該點在xOz平面上 故選D 4 在空間直角坐標系中 點P 1 2 3 在xOy平面上的投影的坐標為 在z軸上的投影的坐標為 關于原點的對稱點為 解析 在xOy平面上的投影坐標為 1 2 0 在z軸上投影的坐標為 0 0 3 關于原點的對稱點為 1 2 3 答案 1 2 0 0 0 3 1 2 3 類型一 點的坐標與點的位置的相互確定 課堂探究 素養(yǎng)提升 例1 設長方體ABCD A B C D 如圖所示 長 寬 高分別為 AB 4cm AD 3cm AA 5cm N是線段CC 的中點 分別以AB AD AA 所在的直線為x軸 y軸 z軸 以1cm為單位長 建立空間直角坐標系 1 求點A B C D A B C D 的坐標 2 求點N的坐標 解 1 A B C D都在平面xOy內 z坐標都為0 它們在x軸 y軸所組成的直角坐標系中的坐標分別是 0 0 4 0 4 3 0 3 因此空間坐標分別是A 0 0 0 B 4 0 0 C 4 3 0 D 0 3 0 A B C D 同在一個垂直于z軸的平面內 這個平面與z軸的交點A 的z坐標是5 故這四點的z坐標都是5 從這四點分別作xOy平面的垂線交xOy平面于A B C D四點 故A B C D 的x y坐標分別與A B C D的相同 由此可知它們的空間坐標分別是A 0 0 5 B 4 0 5 C 4 3 5 D 0 3 5 2 N是線段CC 的中點 有向線段CN的方向與z軸正方向相同 CN 2 5 因此N的z坐標為2 5 C在xOy平面內的平面坐標為 4 3 這就是N的x y坐標 故N的空間坐標為 4 3 2 5 方法技巧 求空間一點M的坐標 常用方法是 過M作MM1垂直于xOy平面 垂足為M1 求出M1的x坐標和y坐標 再求出點M的z坐標 于是得到M點的坐標 x y z 注意z坐標的正負 由本題看出 借助長方體寫出空間坐標很方便 變式訓練1 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是BB1 D1B1的中點 棱長為1 建立空間直角坐標系 求E F點的坐標 類型二 空間中點的對稱問題 例2 在空間直角坐標系中 給定點M 1 2 3 求它分別關于坐標平面 坐標軸和原點的對稱點的坐標 解 過M作MA 平面xOy于點A 并延長MA到點B 使 MA AB 則M點與B點關于平面xOy對稱 所以B 1 2 3 即點M關于xOy平面的對稱點的坐標為 1 2 3 同理 點M關于xOz平面的對稱點的坐標為 1 2 3 點M關于yOz平面的對稱點的坐標為 1 2 3 過M作MC x軸于點C 并延長MC到點D 使 MC CD 則M點與D點關于x軸對稱 所以D 1 2 3 即點M關于x軸對稱的點的坐標為 1 2 3 同理 點M關于y軸對稱的點的坐標為 1 2 3 點M關于z軸對稱的點的坐標為 1 2 3 連接MO并延長到點E 使 MO OE 則M點與E點關于原點對稱 所以E 1 2 3 即點M關于原點對稱的點的坐標為 1 2 3 變式訓練2 1 已知點A 3 1 4 分別寫出點A關于原點 x軸 y軸 z軸和xOz平面的對稱點 解 A 3 1 4 關于原點的對稱點為 3 1 4 A點關于x軸 y軸 z軸的對稱點分別為 3 1 4 3 1 4 3 1 4 A點關于xOz平面的對稱點為 3 1 4 類型三 空間軌跡問題 例3 設x為任意實數(shù) 相應的所有點P x 2 3 構成的集合是什么圖形 解 取點A 0 2 0 過點A作與y軸垂直的平面 則該平面上每一點的y坐標都是2 取點B 0 0 3 過點B作與z軸垂直的平面 則該平面上每一點的z坐標都是3 由 l 可知直線l與平面yOz交于點C 0 2 3 且直線l上任意一點的坐標均可寫成 x 2 3 的形式 故所有點P x 2 3 表示的集合是過點C 0 2 3 且與x軸平行的直線 方法技巧當動點P x y z 的坐標分量中有兩個是常數(shù)時 它表示兩個平面的交線 即一條線 若三個坐標分量都是常數(shù) 它就表示三個平面的公共點 即一個定點 變式訓練3 1 在空間直角坐標系中 求出經過點A 2 3 1 且平行于坐標平面yOz的平面 的方程 解 因為坐標平面yOz x軸 而平面 與坐標平面yOz平行 所以平面 也與x軸垂直 所以平面 內的所有點在x軸上的射影都是同一點 即平面 與x軸的交點 所以平面 內的所有點的橫坐標都相等 因為平面 過點A 2 3 1 所以平面 內的所有點的橫坐標都是2 所以平面 的方程為x 2 謝謝觀賞