第7講拋物線 1 拋物線的定義平面上到定點的距離與到定直線l 定點不在直線l上 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點為拋物線的焦點 定直線 為拋物線的 準(zhǔn)線 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 類型及其幾何性質(zhì) p 0 續(xù)表 C 1 已知拋物線C y 2016x2 則 A 它的焦點坐標(biāo)為 504 0 B 它的焦點坐標(biāo)為 0 504 1C 它的準(zhǔn)線方程是y 8064D 它的準(zhǔn)線方程是y 504 D 2 2016年四川 拋物線y2 4x的焦點坐標(biāo)是 A 0 2 B 0 1 C 2 0 D 1 0 解析 由題意 y2 4x的焦點坐標(biāo)為 1 0 故選D 3 若拋物線y2 4x上的點M到焦點的距離為6 則點M的 5 橫坐標(biāo)是 解析 xM 1 6 xM 5 4 2015年陜西 若拋物線y2 2px p 0 的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 x2 y2 1的一個焦點 則p 考點1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 1 已知拋物線的焦點在x軸上 其上一點P 3 m 到焦點的距離為5 則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 解析 已知拋物線焦點在x軸上 其上有一點為P 3 m 顯然開口向左 設(shè)y2 2px p 0 由點P 3 m 到焦點的距p 4 故標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 8x 答案 B 2 2016年新課標(biāo) 以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于 A 2 B 4 C 6 D 8 圖D46 答案 B 方法與技巧 第 1 題利用拋物線的定義直接得出p的值可以減少運算 第 2 題主要考查拋物線的性質(zhì)及運算 注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運算錯誤 所以解題時一定要注意運算的準(zhǔn)確性與技巧性 互動探究 1 2014年新課標(biāo) 已知拋物線C y2 x的焦點為F A x0 A 1 B 2 C 4 D 8 A 解析 根據(jù)拋物線的定義 拋物線上的點到焦點的距離等 考點2 拋物線的幾何性質(zhì) 例2 1 已知點P是拋物線y2 2x上的一個動點 則點P到點 0 2 的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 解析 由拋物線的定義知 點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點P到其焦點的距離 因此點P到點 0 2 的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和即為點P到點 0 2 的距離與點P到該拋物線焦點F的距離之和 顯然 當(dāng)P F 0 2 三點共線時 距 離之和取得最小值 最小值為 答案 A 2 已知直線l1 4x 3y 6 0和直線l2 x 1 拋物線y2 4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 A 2 B 3 C 115 D 3716 解析 直線l2 x 1為拋物線y2 4x的準(zhǔn)線 由拋物線的定義知 點P到l2的距離等于點P到拋物線的焦點F 1 0 的距離 故本題化為在拋物線y2 4x上找一個點P 使得點P到該拋物線焦點F 1 0 和直線l1的距離之和最小 最小值為F 1 0 到直線l1 4x 3y 6 0的距離 即dmin 4 0 6 5 2 故選A 答案 A 在直角梯形ANFF 中 中位線 BM 3 2017年新課標(biāo) 已知F是拋物線C y2 8x的焦點 M是C上一點 FM的延長線交y軸于點N 若M為FN的中點 則 FN 解析 如圖D47 不妨設(shè)點M位于第一象限 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點F 作MB l于點B NA l于點A 由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x 2 則 AN 2 FF 4 AN FF 2 3 由拋物線 的定義有 MF MB 3 結(jié)合題意 有 MN MF 3 線段FN的長度 FN FM MN 3 3 6 圖D47 答案 6 規(guī)律方法 求兩個距離和的最小值 當(dāng)兩條線段拉直 三點共線 時和最小 當(dāng)直接求解怎么做都不可能三點共線時 聯(lián)想到拋物線的定義 即點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點P到其焦點的距離 進(jìn)行轉(zhuǎn)換再求解 互動探究 2 2016年浙江 若拋物線y2 4x上的點M到焦點的距離為 9 10 則M到y(tǒng)軸的距離是 解析 xM 1 10 xM 9 考點3 直線與拋物線的位置關(guān)系 x24A與B的橫坐標(biāo)之和為4 1 求直線AB的斜率 2 設(shè)M為曲線C上一點 C在M處的切線與直線AB平行 且AM BM 求直線AB的方程 例3 2017年新課標(biāo) 設(shè)A B為曲線C y 上兩點 規(guī)律方法 高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容 主要由求值 求方程 求定值 求最值 求參數(shù)取值范圍等幾部分組成 解析幾何中的證明問題通常有以下幾類 證明點共線或直線過定點 證明垂直 證明定值問題 其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線 解決這類問題要重視方程思想 函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用 互動探究 3 2017年新課標(biāo) 已知F為拋物線C y2 4x的焦點 過F作兩條互相垂直的直線l1 l2 直線l1與C交于A B兩點 直線l2與C交于D E兩點 則 AB DE 的最小值為 A 16 B 14 C 12 D 10 解析 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 直線l1的方程為y k x 1 答案 A 思想與方法 利用運動變化的思想探求拋物線中的不變問題例題 AB為過拋物線焦點的動弦 點P為AB的中點 A B P在準(zhǔn)線l的射影分別是A1 B1 P1 有以下結(jié)論 FA1 FB1 AP1 BP1 BP1 FB1 AP1 FA1 其中正確的有 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 解析 如圖7 7 1 1 AA1 AF AA1F AFA1 又AA1 F1F AA1F A1FF1 則 AFA1 A1FF1 同理 BFB1 B1FF1 則 A1FB1 90 故FA1 FB1 AA1 BB1 如圖7 7 1 2 PP1 2 AF BF 2 AB 2 即 AP1B為直角三角形 故AP1 BP1 如圖7 7 1 3 BB1 BF 即 BB1F為等腰三角形 PP1 PB PP1B PBP1 又BB1 P1P PP1B B1BP1 則 PBP1 B1BP1 即BP1為角平分線 故BP1 FB1 如圖7 7 1 4 同 有AP1 FA1 綜上所述 都正確 故選D 1 3 2 4 圖7 7 1 答案 D 規(guī)律方法 首先利用拋物線的定義能得到多個等腰三角形 然后利用平行線的性質(zhì) 得到多對相等的角 最后充分利用平面幾何的性質(zhì)解題 互動探究 4 已知拋物線y2 2px p 0 的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別 A 4 B 4 C p2 D p2 A