9 2不等式選講 選修4 5 2 3 4 5 6 1 絕對值三角不等式 1 定理1 若a b是實數(shù) 則 a b a b 當且僅當ab 0時 等號成立 2 性質 a b a b a b 3 定理2 若a b c是實數(shù) 則 a c a b b c 當且僅當 a b b c 0時 等號成立 7 2 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a a 0 的解法 x a x a或x0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想 利用 零點分段法 求解 體現(xiàn)了分類討論的思想 通過構造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 8 9 4 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法等 1 比較法 求差比較法 求商比較法 求差比較法 由于a b a b 0 ab 只要證明a b 0即可 求商比較法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此當a 0 b 0時要證明a b 只要證明 1即可 2 分析法 從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式 已知條件 定理等 10 3 綜合法 從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關性質或定理 經過推理論證 推導出所要證明的不等式成立 即 由因尋果 的方法 這種證明不等式的方法稱為綜合法 5 柯西不等式 11 考向一 考向二 考向三 解不等式 求參數(shù)范圍 全方位探究 例1 2018廣東梅州二模 23 已知函數(shù)f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范圍 當x2時 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集為 x x 1 12 考向一 考向二 考向三 13 考向一 考向二 考向三 解題心得1 解含有兩個以上絕對值符號的不等式 一般解法是零點分段法 即令各個絕對值式子等于0 求出各自零點 把零點在數(shù)軸上從小到大排列 然后按零點分數(shù)軸形成的各區(qū)間去絕對值 進而將絕對值不等式轉化為常規(guī)不等式 2 在不等式恒成立的情況下 求參數(shù)的取值范圍 可以采取分離參數(shù) 通過求對應函數(shù)最值的方法獲得 14 考向一 考向二 考向三 對點訓練1已知函數(shù)f x x m 2x 1 m 0 1 當m 1時 解不等式f x 3 2 當x m 2m2 時 不等式f x x 1 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 15 考向一 考向二 考向三 16 考向一 考向二 考向三 例2已知函數(shù)f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 當a 1時 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范圍 17 考向一 考向二 考向三 解 1 當a 1時 不等式f x g x 等價于x2 x x 1 x 1 4 0 當x 1時 式化為x2 3x 4 0 無解 當 1 x 1時 式化為x2 x 2 0 從而 1 x 1 2 當x 1 1 時 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等價于當x 1 1 時f x 2 又f x 在 1 1 的最小值必為f 1 與f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范圍為 1 1 18 考向一 考向二 考向三 解題心得1 對于求參數(shù)范圍問題 可將已知條件進行等價轉化 得到含有參數(shù)的不等式恒成立 此時通過求函數(shù)的最值得到關于參數(shù)的不等式 解不等式得參數(shù)范圍 2 解答此類問題應熟記以下轉化 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a無解 f x max a f x a無解 f x min a 19 考向一 考向二 考向三 對點訓練2 2018河南濮陽三模 23 已知函數(shù)f x x 1 x 2 g x x2 x a 1 當a 5時 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 2 3 求a的取值范圍 20 考向一 考向二 考向三 解 1 當a 5時 不等式f x g x 等價于 x 1 x 2 x2 x 5 當x 1時 式化為x2 x 2 0 無解 當 1 x 2時 式化為x2 3x 4 0 得 1 x 2 2 當x 2 3 時 f x 3 所以f x g x 的解集包含 2 3 等價于x 2 3 時g x 3 又g x x2 x a在 2 3 上的最大值為g 3 6 a 所以g 3 3 即6 a 3 得a 3 所以a的取值范圍為 3 21 考向一 考向二 考向三 例3 2018湖南衡陽一模 文23 設函數(shù)f x x 2 x a x R 1 若a 1 試求f x 4的解集 2 若a 0 且關于x的不等式f x x有解 求實數(shù)a的取值范圍 22 考向一 考向二 考向三 解題心得在不等式f x g x 有解或恒成立時 求不等式中所含參數(shù)的取值范圍或最值 可分別作出函數(shù)f x 和g x 的圖象 根據(jù)圖象找到不等式f x g x 有解或恒成立的條件 從而得出參數(shù)的取值范圍或最值 23 考向一 考向二 考向三 對點訓練3 2018全國卷3 理23 設函數(shù)f x 2x 1 x 1 1 畫出y f x 的圖象 2 當x 0 時 f x ax b 求a b的最小值 24 考向一 考向二 考向三 y f x 的圖象如圖所示 2 由 1 知 y f x 的圖象與y軸交點的縱坐標為2 且各部分所在直線斜率的最大值為3 故當且僅當a 3且b 2時 f x ax b在 0 成立 因此a b的最小值為5 25 考向一 考向二 考向三 例4 2018全國卷1 理23 已知f x x 1 ax 1 1 當a 1時 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 時不等式f x x成立 求a的取值范圍 26 考向一 考向二 考向三 解題心得在不等式f x g x 成立下 求不等式中所含參數(shù)的取值范圍 可對參數(shù)進行討論 看參數(shù)在哪些范圍內不等式能成立 然后把使不等式成立的參數(shù)的范圍合并在一起即可 27 考向一 考向二 考向三 對點訓練4已知f x x a 3x 其中a R 1 當a 1時 求不等式f x 3x 2x 1 的解集 2 若不等式f x 0的解集為 x x 1 求a的值 28 考向一 考向二 考向三 解 1 a 1時 f x x 1 3x 由f x 2x 1 3x 得 x 1 2x 1 0 故 x 1 2x 1 解得 2 x 0 不等式的解集為 x 2 x 0 29 考向一 考向二 考向三 不等式的證明例5 2018山東濰坊三模 文23 已知函數(shù)f x x 4 不等式f x 8 2x 2 的解集為M 1 求M 2 設a b M 證明 f ab f 2a f 2b 30 考向一 考向二 考向三 1 解 將f x x 4 代入f x 8 2x 2 得 x 4 2x 2 8 當x 4時 不等式轉化為 x 4 2x 2 8 解得x8 解得x8 解得x 2 所以此時x 2 綜上 M x x2 31 考向一 考向二 考向三 2 證明因為f 2a f 2b 2a 4 2b 4 2a 4 2b 4 2a 2b 所以要證f ab f 2a f 2b 只需證 ab 4 2a 2b 即證 ab 4 2 2a 2b 2 即證a2b2 8ab 16 4a2 8ab 4b2 即證a2b2 4a2 4b2 16 0 即證 a2 4 b2 4 0 因為a b M 所以a2 4 b2 4 所以 a2 4 b2 4 0成立 所以原不等式成立 32 考向一 考向二 考向三 解題心得不等式證明的常用方法是 比較法 綜合法與分析法 其中運用綜合法證明不等式時 主要是運用基本不等式證明 與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式 證明過程中一方面要注意不等式成立的條件 另一方面要善于對式子進行恰當?shù)霓D化 變形 33 考向一 考向二 考向三 34 考向一 考向二 考向三 35 考向一 考向二 考向三 求代數(shù)式的最值例6 2018河北唐山一模 文23 設函數(shù)f x x 1 x 的最大值為m 1 求m的值 36 考向一 考向二 考向三 37 考向一 考向二 考向三 解題心得若題設條件有 或者經過化簡題設條件得到 兩個正數(shù)和或兩個正數(shù)積為定值 則可利用基本不等式求兩個正數(shù)積的最大值或兩個正數(shù)和的最小值 38 考向一 考向二 考向三 對點訓練6 2018湖南衡陽二模 理23 已知a 0 b 0 c 0 若函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解 1 f x x a x b c x a x b c a b c a b c 當且僅當 a x b時 等號成立 f x 的最小值為a b c a b c 4 39 考向一 考向二 考向三