二輪專題突破 第一篇 專題八函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講大題考法 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 考向一導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用問題 技法總結(jié) 求函數(shù)y f x 在某個區(qū)間上極值的步驟 變式提升 1 2018 玉溪模擬 已知函數(shù)f x xlnx 1 設(shè)函數(shù)g x f x a x 1 其中a R 討論函數(shù)g x 的單調(diào)性 2 若直線l過點(diǎn) 0 1 并且與曲線y f x 相切 求直線l的方程 解 1 f x xlnx g x f x a x 1 xlnx a x 1 則g x lnx 1 a 由g x 0 得lnx 1 a 0 解得0 x ea 1 由g x 0 得lnx 1 a 0 解得x ea 1 g x 在 0 ea 1 上單調(diào)遞減 在 ea 1 上單調(diào)遞增 2 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 y0 則y0 x0lnx0 切線的斜率為lnx0 1 切線l的方程為y x0lnx0 lnx0 1 x x0 又切線l過點(diǎn) 0 1 1 x0lnx0 lnx0 1 0 x0 即 1 x0lnx0 x0lnx0 x0 解得x0 1 y0 0 直線l的方程為y x 1 典例 已知函數(shù)f x x a ex 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) a R 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當(dāng)a 1時 試確定函數(shù)g x f x a x2的零點(diǎn)個數(shù) 并說明理由 規(guī)范解答 1 因?yàn)閒 x x a ex x R 所以f x x a 1 ex 1分令f x 0 得x a 1 2分 考向二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題 2 結(jié)論 當(dāng)a 1時 函數(shù)g x 有且僅有一個零點(diǎn) 5分理由如下 由g x f x a x2 0 得方程xex a x2 顯然x 0為此方程的一個實(shí)數(shù)解 所以x 0是函數(shù)g x 的一個零點(diǎn) 6分當(dāng)x 0時 方程可化簡為ex a x 設(shè)函數(shù)F x ex a x 7分則F x ex a 1 令F x 0 得x a 當(dāng)x變化時 F x 和F x 的變化情況如下 8分 即F x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 a 單調(diào)遞減區(qū)間為 a 9分所以F x min F a 1 a 10分因?yàn)閍 1 所以F x min F a 1 a 0 所以對于任意x R F x 0 11分因此方程ex a x無實(shí)數(shù)解 所以當(dāng)x 0時 函數(shù)g x 不存在零點(diǎn) 綜上 函數(shù)g x 有且僅有一個零點(diǎn) 12分 對函數(shù)f x 求導(dǎo)計算錯而導(dǎo)致解題錯誤 對于函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷 不會轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)而無從下手 在判斷方程ex a x x 0 無零點(diǎn)時不會構(gòu)造轉(zhuǎn)化 利用單調(diào)性及最值做出判斷 技法總結(jié) 判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的常用方法 1 直接研究函數(shù) 求出極值以及最值 畫出草圖 函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)問題 2 分離出參數(shù) 轉(zhuǎn)化為a g x 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)g x 在某區(qū)間的單調(diào)性 求出極值以及最值 畫出草圖 函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題即是直線y a與函數(shù)y g x 圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題 只需要用a與函數(shù)g x 的極值和最值進(jìn)行比較即可 變式提升 2 2018 錦州聯(lián)考 已知函數(shù)f x ex ax a a R且a 0 1 若函數(shù)f x 在x 0處取得極值 求實(shí)數(shù)a的值 并求此時f x 在 2 1 上的最大值 2 若函數(shù)f x 不存在零點(diǎn) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 典例 2018 河南聯(lián)考 已知函數(shù)f x x 1 lnx a x 1 1 當(dāng)a 4時 求曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程 2 若當(dāng)x 1 時 f x 0 求a的取值范圍 考向三導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立 存在性問題 技法總結(jié) 1 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的常用方法 1 分離參數(shù)法第一步 將原不等式分離參數(shù) 轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題 第二步 利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值 第三步 根據(jù)要求得所求范圍 2 函數(shù)思想法第一步 將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題 第二步 利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值 最值 第三步 構(gòu)建不等式求解 2 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的策略 1 根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大 小 值滿足的不等式成立問題 2 用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值 3 構(gòu)建不等式求解 考向四導(dǎo)數(shù)與不等式的證明問題 技法總結(jié) 1 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟 1 作差或變形 2 構(gòu)造新的函數(shù)h x 3 利用導(dǎo)數(shù)研究h x 的單調(diào)性或最值 4 根據(jù)單調(diào)性及最值 得到所證不等式 2 構(gòu)造輔助函數(shù)的4種方法 謝 謝 觀 看