基礎(chǔ)課3機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 重力做功與重力勢(shì)能 1 重力做功的特點(diǎn) 1 重力做功與無(wú)關(guān) 只與始 末位置的有關(guān) 2 重力做功不引起物體的變化 知識(shí)排查 路徑 高度差 機(jī)械能 2 重力勢(shì)能 1 表達(dá)式 Ep 2 重力勢(shì)能的特點(diǎn) 系統(tǒng)性 重力勢(shì)能是所共有的 相對(duì)性 重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取 但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取 3 重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系 1 定性關(guān)系 重力對(duì)物體做正功 重力勢(shì)能就 重力對(duì)物體做負(fù)功 重力勢(shì)能就 2 定量關(guān)系 重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的 即WG Ep mgh 物體和地球 有關(guān) 無(wú)關(guān) 減小 增大 減小 Ep2 Ep1 彈性勢(shì)能 1 定義 物體由于發(fā)生而具有的能 2 彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系 彈力做正功 彈性勢(shì)能 彈力做負(fù)功 彈性勢(shì)能 即W 彈性形變 減小 增加 Ep 1 機(jī)械能 和統(tǒng)稱(chēng)為機(jī)械能 其中勢(shì)能包括和 2 機(jī)械能守恒定律 1 內(nèi)容 在只有做功的物體系統(tǒng)內(nèi) 動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化 而總的機(jī)械能 機(jī)械能守恒定律及應(yīng)用 3 守恒條件 只有重力或彈簧的彈力做功 動(dòng)能 勢(shì)能 彈性勢(shì)能 重力勢(shì)能 重力或彈簧彈力 保持不變 1 思考判斷 1 被舉到高處的物體的重力勢(shì)能一定不為零 2 物體在速度增大時(shí) 其機(jī)械能可能在減小 3 物體所受合外力為零時(shí) 機(jī)械能一定守恒 4 物體除受重力外 還受其他力 但其他力不做功 則物體的機(jī)械能一定守恒 答案 1 2 3 4 小題速練 2 將質(zhì)量為100kg的物體從地面提升到10m高處 在這個(gè)過(guò)程中 下列說(shuō)法正確的是 取g 10m s2 A 重力做正功 重力勢(shì)能增加1 0 104JB 重力做正功 重力勢(shì)能減少1 0 104JC 重力做負(fù)功 重力勢(shì)能增加1 0 104JD 重力做負(fù)功 重力勢(shì)能減少1 0 104J解析WG mgh 1 0 104J Ep WG 1 0 104J 選項(xiàng)C正確 答案C 3 人教版必修2 P78 T3改編 多選 如圖1所示 在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體 拋出后物體落到比地面低h的海平面上 若以地面為零勢(shì)能面 而且不計(jì)空氣阻力 則下列說(shuō)法正確的是 答案AD 圖1 機(jī)械能守恒的判斷 1 利用機(jī)械能的定義判斷 直接判斷 分析動(dòng)能和勢(shì)能的和是否變化 2 用做功判斷若物體或系統(tǒng)只有重力 或彈簧的彈力 做功 或有其他力做功 但其他力做功的代數(shù)和為零 則機(jī)械能守恒 3 用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判斷若物體系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化 則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒 1 多選 如圖2所示 下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是 A 圖甲中 物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中 物體A機(jī)械能守恒B 圖乙中 物體A固定 物體B沿斜面勻速下滑 物體B的機(jī)械能守恒C 圖丙中 不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí) 物體A加速下落 物體B加速上升過(guò)程中 物體A B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D 圖丁中 小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí) 小球的機(jī)械能守恒 圖2 解析題圖甲中重力和彈力做功 物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 但物體A機(jī)械能不守恒 選項(xiàng)A錯(cuò)誤 題圖乙中物體B勻速下滑 動(dòng)能不變 重力勢(shì)能減小 物體B的機(jī)械能不守恒 選項(xiàng)B錯(cuò)誤 題圖丙中繩子張力對(duì)物體A做負(fù)功 對(duì)物體B做正功 代數(shù)和為零 物體A B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 選項(xiàng)C正確 題圖丁中小球的動(dòng)能不變 勢(shì)能不變 機(jī)械能守恒 選項(xiàng)D正確 答案CD 2 多選 質(zhì)量為m的物體 從靜止開(kāi)始以2g的加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)h高度 下列說(shuō)法正確的是 A 物體的重力勢(shì)能減少2mghB 物體的機(jī)械能保持不變C 物體的動(dòng)能增加2mghD 物體的機(jī)械能增加mgh解析因重力做了mgh的功 由重力做功與重力勢(shì)能變化關(guān)系可知重力勢(shì)能減少mgh 合力做功為2mgh 由動(dòng)能定理可知?jiǎng)幽茉黾?mgh 除重力之外的力做功mgh 所以機(jī)械能增加mgh 選項(xiàng)A B錯(cuò)誤 C D正確 答案CD 3 如圖3所示 P Q兩球質(zhì)量相等 開(kāi)始兩球靜止 將P上方的細(xì)繩燒斷 在Q落地之前 下列說(shuō)法正確的是 不計(jì)空氣阻力 A 在任一時(shí)刻 兩球動(dòng)能相等B 在任一時(shí)刻 兩球加速度相等C 在任一時(shí)刻 系統(tǒng)動(dòng)能和重力勢(shì)能之和保持不變D 在任一時(shí)刻 系統(tǒng)機(jī)械能是不變的 圖3 解析細(xì)繩燒斷后 由于彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài) 通過(guò)對(duì)P Q兩球受力分析可知aP aQ 在任一時(shí)刻 兩球的動(dòng)能不一定相等 選項(xiàng)A B錯(cuò)誤 系統(tǒng)內(nèi)有彈力做功 彈性勢(shì)能發(fā)生變化 系統(tǒng)的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和發(fā)生變化 選項(xiàng)C錯(cuò)誤 Q落地前 兩球及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧的彈力做功 整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 選項(xiàng)D正確 答案D 判斷機(jī)械能是否守恒時(shí) 一定要注意研究對(duì)象是單個(gè)物體還是物體系統(tǒng) 研究對(duì)象不同 得到的結(jié)果也會(huì)不一樣 機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用 機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式 典例 2017 定州模擬 如圖4所示 B是質(zhì)量為2m 半徑為R的光滑半圓弧槽 放在光滑的水平桌面上 A是質(zhì)量為3m的細(xì)長(zhǎng)直桿 在光滑導(dǎo)孔的限制下 A只能上下運(yùn)動(dòng) 物塊C的質(zhì)量為m 緊靠B放置 初始時(shí) A桿被夾住 使其下端正好與半圓弧槽內(nèi)側(cè)的上邊緣接觸 然后從靜止釋放A 求 1 桿A的下端運(yùn)動(dòng)到槽B的最低點(diǎn)時(shí)B C的速度 2 桿A的下端經(jīng)過(guò)槽B的最低點(diǎn)后 A能上升的最大高度 圖4 解析 1 最低點(diǎn)時(shí) 長(zhǎng)直桿在豎直方向的速度為0 B C具有共同速度v 由 整個(gè)系統(tǒng)ABC 機(jī)械能守恒定律得 2 B C分離后 桿上升到所能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí) A B的速度均為0 A B系統(tǒng)機(jī)械能守恒 1 一小球以一定的初速度從圖示5位置進(jìn)入光滑的軌道 小球先進(jìn)入圓軌道1 再進(jìn)入圓軌道2 圓軌道1的半徑為R 圓軌道2的半徑是軌道1的1 8倍 小球的質(zhì)量為m 若小球恰好能通過(guò)軌道2的最高點(diǎn)B 則小球在軌道1上經(jīng)過(guò)A處時(shí)對(duì)軌道的壓力為 A 2mgB 3mgC 4mgD 5mg 圖5 答案C 圖6 A 兩小球到達(dá)底端時(shí)速度相同B 兩小球由靜止運(yùn)動(dòng)到底端的過(guò)程中重力做功不相同C 兩小球到達(dá)底端時(shí)動(dòng)能相同D 兩小球到達(dá)底端時(shí) 甲小球重力做功的瞬時(shí)功率大于乙小球重力做功的瞬時(shí)功率 答案C 3 如圖7所示 在某豎直平面內(nèi) 光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn) BC右端連接內(nèi) 外壁光滑 半徑r 0 2m的四分之一細(xì)圓管CD 管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k 100N m的輕彈簧 彈簧一端固定 另一端恰好與管口D端平齊 一個(gè)質(zhì)量為1 0kg的小滑塊 可視為質(zhì)點(diǎn) 放在曲面AB上 現(xiàn)從距BC的高度為h 0 6m處由靜止釋放小滑塊 它與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù) 0 5 小滑塊進(jìn)入管口C端時(shí) 它對(duì)上管壁有FN 2 5mg的相互作用力 通過(guò)CD后 在壓縮彈簧過(guò)程中小滑塊速度最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep 0 5J 取重力加速度g 10m s2 求 1 小滑塊在C處受到的向心力大小 2 在壓縮彈簧過(guò)程中小滑塊的最大動(dòng)能Ekm 3 小滑塊最終停止的位置 圖7 解析 1 小滑塊進(jìn)入管口C端時(shí)它與圓管外管壁有大小為FN 2 5mg的相互作用力 故小滑塊在C點(diǎn)受到的向心力大小為F向 2 5mg mg 35N 2 在壓縮彈簧過(guò)程中小滑塊速度最大時(shí) 所受合力為零 設(shè)此時(shí)小滑塊離D端的距離為x0 則有kx0 mg 小滑塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到速度最大位置的過(guò)程中 由機(jī)械能守恒定律得 3 小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程 由動(dòng)能定理得 故最終小滑塊在距離B點(diǎn)為 0 7 0 5 m 0 2m處停下 答案 1 35N 2 6J 3 距B點(diǎn)0 2m 解得B C間的距離s 0 5m小滑塊與彈簧作用后返回C處動(dòng)能不變 小滑塊的動(dòng)能最終消耗在與BC水平面相互作用的過(guò)程中 設(shè)之后小滑塊在BC上的運(yùn)動(dòng)路程為s 系統(tǒng)機(jī)械能守恒的兩類(lèi)連接體模型 模型建構(gòu)能力的培養(yǎng) 模型一速率相等的連接體模型1 如圖8所示的兩物體組成的系統(tǒng) 當(dāng)釋放B而使A B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 A B的速度均沿繩子方向 在相等的時(shí)間內(nèi)A B運(yùn)動(dòng)的路程相等 則A B的速率相等 圖8 2 判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒不從做功角度判斷 而從能量轉(zhuǎn)化的角度判斷 即 如果系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 這類(lèi)題目的典型特點(diǎn)是系統(tǒng)不受摩擦力和空氣阻力作用 例1 如圖9所示 A B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線(xiàn)相連 A放在固定的光滑斜面上 B C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連 C球放在水平地面上 現(xiàn)用手控制住A 并使細(xì)線(xiàn)剛剛拉直但無(wú)拉力作用 并保證滑輪左側(cè)細(xì)線(xiàn)豎直 右側(cè)細(xì)線(xiàn)與斜面平行 已知A的質(zhì)量為4m B C的質(zhì)量均為m 重力加速度為g 細(xì)線(xiàn)與滑輪之間的摩擦不計(jì) 開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài) 釋放A后 A沿斜面下滑至速度最大時(shí) C恰好離開(kāi)地面 求 1 斜面的傾角 2 A球獲得的最大速度vm 圖9 審題建模 1 細(xì)線(xiàn)不可伸長(zhǎng) A B兩球速率一定相等 但B與C球用彈簧相連 速率一般不同 2 彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的形變量大小有關(guān) 無(wú)論彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)還是壓縮狀態(tài) 解析 1 由題意可知 當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時(shí) C恰好離開(kāi)地面 A的加速度此時(shí)為零 由牛頓第二定律得4mgsin 2mg 0 模型二角速度相等的連接體模型1 如圖10所示的兩物體組成的系統(tǒng) 當(dāng)釋放后A B在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng) 在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中相等時(shí)間內(nèi)A B轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等 則A B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等 圖10 2 系統(tǒng)機(jī)械能守恒的特點(diǎn) 1 一個(gè)物體的機(jī)械能增加 另一個(gè)物體的機(jī)械能必然減少 機(jī)械能通過(guò)內(nèi)力做功實(shí)現(xiàn)物體間的轉(zhuǎn)移 2 內(nèi)力對(duì)一個(gè)物體做正功 必然對(duì)另外一個(gè)物體做負(fù)功 且二者代數(shù)和為零 例2 2017 黑龍江模擬 多選 將質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B 用長(zhǎng)為2L的輕桿相連 如圖11所示 在桿的中點(diǎn)O處有一固定水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸 把桿置于水平位置后由靜止自由釋放 在B球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置的過(guò)程中 不計(jì)一切摩擦 圖11 答案BC 解決角速度相等的連接體問(wèn)題三點(diǎn)提醒 1 要注意判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒 2 注意尋找物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系 3 列機(jī)械能守恒方程時(shí) 一般選用 Ek Ep的形式 1 當(dāng)A轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí) 兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少 2 A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線(xiàn)速度是多少 圖12 解析 1 以通過(guò)固定軸O的水平面為零勢(shì)能面 開(kāi)始時(shí)兩球的重力勢(shì)能之和為 當(dāng)小球A轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)時(shí)兩小球重力勢(shì)能之和為Ep2 EpA EpB mgr 0 mgr 故兩球重力勢(shì)能之和減少量為