直角三角形的射影定理教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能1能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)的幾何問題；2通過對射影定理的探究，使學(xué)生經(jīng)歷探索數(shù)學(xué)問題的過程，逐步形成 探究問題的意識，發(fā)展探究問題的能力.（二） 過程與方法類比正方體、長方體的表面積，討論柱體、錐體、臺體的表面積的求法.（三） 情感態(tài)度與價值觀通過小組活動，讓學(xué)生體驗(yàn)合作學(xué)習(xí)的愉悅，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神.教學(xué)重點(diǎn)射影定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)建立三角形以外的、和三角形有關(guān)的元素與三角形相似比之間的關(guān)系.教學(xué)方法師生協(xié)作共同探究法.教學(xué)用具 黑板多媒體教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一復(fù)習(xí)引入前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，請學(xué)生回答以下兩個問題：1.相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理分別是什么？2.如何判定兩個直角三角形相似?（通過這兩個問題很自然地過渡到本節(jié)課要討論的問題.）新知探究如圖，/ABC是直角三角形,CD為斜邊AB上的高.提出問題：1.在這個圖形中，有哪幾組相似三角形？（三組：ACD與厶CBD，BDC與厶BCA，CDA與厶BCA）2.把學(xué)生分為三組，分組討論：結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，尋找每組三角形中的線段長度關(guān)系：ACD與厶CBD中，CD2=AD-BD,BDC與厶BCA中，BC2=BD-AB,CDA與厶BCA中，AC2=AD-AB.這三個關(guān)系式形式上完全一樣，但不便于記憶，因此，在這里教師適時的引 入射影的定義:從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點(diǎn)在這條直線上的正射影.一條直線在直線上的正射影，是指線段的兩個端點(diǎn)在這條直線上的正射影之請學(xué)生結(jié)合射影定義及圖1,觀察三個關(guān)系式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，即可得出射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分 別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng).三例題分析例1如圖3,圓0上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的長.解：I/ACB是半圓上的圓周角，/ ACB=90，即/ABC是直角三角形.由射影定理可得：2CD =ADBD=2X8=16,解得CD=4;AC2=AD-AB=2X10=20,解得AC=25 ；BC2=BD-AB=8X 10=80，解得BC= 4 .5.（師生一起分析思路，由學(xué)生完成求解.）間的線段.點(diǎn)和線段的正射影簡稱為射影.圖2圖4例2如圖4, /ABC中，頂點(diǎn)C在AB邊上的射影為D,且CD2=AD- BD.求 證：/ABC是直角三角形.證明：在/CDA和/BDC中，點(diǎn)C在AB上的射影為D, CD丄AB./CDA=/BDC=90.2又CD2=AD-BD, AD:CD=CD:DB./ CDAs/BDC.在/ACD中，vZCAD+/ACD=90 ,/BCD+ZACD=90.ZBCD+ZACD=ZACB=90./ABC是直角三角形.（該例題表明，射影定理的逆定理也是成立的.學(xué)生在這個命題的證明中，可能對如何建立條件與結(jié)論之間的關(guān)系有些困難.教學(xué)中可從如下兩方面來引 導(dǎo)：1射影”總是與 垂直”相伴，由此可以與 直角三角形”相聯(lián)系；2我們往往將等式CD2=AD- BD變形為如 二CD，這個比例式啟發(fā)我們應(yīng)當(dāng)CD DB通過 相似三角形”來推出 直角三角形”.學(xué)生明確了上述思路就容易得出本例 的證明了.）四課堂練習(xí)1在/ABC中，/C=90, CD是斜邊AB上的高.已知CD=60,AD=25, 求BD、AB、AC、BC的長.（直接運(yùn)用射影定理.）2如圖，已知線段a b,求作線段a和b的比例中項(xiàng).（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)射影定理的三個公式考慮是否有不同的作圖方法.）aIbi五課堂小結(jié)（引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和思想方法兩方面進(jìn)行歸納.）1知識內(nèi)容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟練運(yùn)用.2思想方法：化歸.六課后作業(yè)1基礎(chǔ)訓(xùn)練：在/ABC中，/C=90, CD丄AB，垂足為D,AC=12,BC=5,求CD的長.2小組探究：請學(xué)生以四人學(xué)習(xí)小組為單位，探究是否還有其它的方法來證 明射影定理.（培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維及團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力.）