2充分條件與必要條件 一 二 三 四 思考辨析 一 充分條件 名師點撥定義中p q 即如果具備了條件p 就可以保證結(jié)論q成立 所以p是q的充分條件 從集合的角度來認識充分條件 若p表示的集合為A q表示的集合為B p q 就有A B 做一做1 x 5 是 x 7 的條件 答案 充分 一 二 三 四 思考辨析 二 必要條件 名師點撥若p q 則稱p是q的充分條件 同時 我們稱q是p的必要條件 所謂必要 即q是p成立的必不可少的條件 缺其不可 從集合的角度來認識必要條件 若p表示的集合為A q表示的集合為B p q 就有A B 做一做2 ab 0 是 a 0 的條件 答案 必要 一 二 三 四 思考辨析 三 充要條件充要條件 對于p和q 如果有p q 又有q p 那么 記作p q 這時 p既是q的充分條件 又是q的必要條件 同時 q既是p的充分條件 也是p的必要條件 我們稱p是q的充分必要條件 簡稱充要條件 也稱p與q是等價的名師點撥如果p q 那么p與q互為充要條件 也可以說p與q是等價的 從集合的角度來認識充要條件 若p表示的集合為A q表示的集合為B p q 就有A B 一 二 三 四 思考辨析 做一做3 在 ABC中 A B 是 sinA sinB 的條件 解析 在三角形中由大角對大邊可知A B a b 再結(jié)合正弦定理 A sinB 反之 仍然結(jié)合正弦定理及大邊對大角可得出sinA sinB A B 因此在 ABC中 A B 是 sinA sinB 的充要條件 答案 充要 一 二 三 四 思考辨析 四 充分 必要條件的四種情形設(shè)原命題為 若p 則q 則其逆命題為 若q 則p 得p與q的關(guān)系有以下四種情形 一 二 三 四 思考辨析 名師點撥如果把p研究的范圍看成集合A 把q研究的范圍看成集合B 則可得下表 一 二 三 四 思考辨析 做一做4 設(shè)點P x y 則 x 2 且y 1 是 點P在直線l x y 1 0上 的條件 解析 將 2 1 代入直線方程 符合方程 即 x 2且y 1 可推出 點P在直線l x y 1 0上 而點P在直線l上 則點P不一定就是 2 1 點 即 點P在直線l x y 1 0上 推不出 x 2且y 1 故 x 2且y 1 是 點P在直線l x y 1 0上 的充分而不必要條件 答案 充分而不必要 一 二 三 四 思考辨析 判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 如果p是q的充分條件 那么命題 若p 則q 不一定為真 2 如果p是q的充分條件 那么q就是p的必要條件 3 如果p是q的必要條件 那么p是唯一的 4 如果p是q的充要條件 那么q也是p的充要條件 探究一 探究二 探究三 思維辨析 充分條件 必要條件和充要條件的判斷 例1 指出下列各組命題中 p是q的什么條件 充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件 1 p 數(shù)a能被6整除 q 數(shù)a能被3整除 2 p x 1 q x2 1 3 p ABC有兩個角相等 q ABC是正三角形 4 p a b a b q a b 0 5 在 ABC中 p A B q BC AC 6 p a 3 q a 2 a 3 0 7 p a 2 q a 5 8 p a b q 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 思維點撥 判斷p是q的什么條件 主要判斷p q及q p兩命題的真假 若p q為真 則p是q的充分條件 若q p為真 則p是q的必要條件 若p q 則p是q的充要條件 解 1 因為p q qp 所以p是q的充分不必要條件 2 因為p q qp 所以p是q的充分不必要條件 3 因為pq q p 所以p是q的必要不充分條件 4 因為當a b 0時 a b a b 所以 a b a b 不能推出 a b 0 即p不能推出q 而當a b 0時 有 a b a b 即q p 所以p是q的必要不充分條件 探究一 探究二 探究三 思維辨析 5 在 ABC中 A B BC AC 所以p是q的充要條件 6 a 3 a 2 a 3 0 但 a 2 a 3 0a 3 所以p是q的充分不必要條件 7 a 2a 5 但a 5 a 2 所以p是q的必要不充分條件 反思感悟充分條件 必要條件 充要條件的判斷方法1 定義法 1 分清命題的條件和結(jié)論 分清哪個是條件 哪個是結(jié)論 2 找推式 判斷 p q 及 q p 的真假 3 根據(jù)推式及條件得出結(jié)論 2 集合法 寫出集合A x p x 及B x q x 利用集合間的包含關(guān)系進行判斷 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1 1 下列 若p 則q 形式的命題中 p是q的充分條件的是 D 若x y 則x2 y2 2 a 2 是 直線l1 a 1 x y 2 0與直線l2 ax 2a 2 y 1 0互相垂直 的 A 必要不充分條件B 充分不必要條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 1 B項中 x2 1 x 1或x 1 C項中 當x yy2 所以B C D中p不是q的充分條件 2 由l1 l2 得a a 1 2a 2 0 解得a 1或a 2 故選B 答案 1 A 2 B 探究一 探究二 探究三 思維辨析 充分條件 必要條件的探求 例2 已知集合M x x5 P x x a x 8 0 1 求實數(shù)a的取值范圍 使它成為M P x 5 x 8 的充要條件 2 求實數(shù)a的一個值 使它成為M P x 5 x 8 的一個充分但不必要條件 思維點撥 1 利用集合M和M P 通過分析求得a的取值范圍 2 借助 1 的結(jié)論 根據(jù)充分但不必要條件所滿足的關(guān)系 確定a的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 由M P x 5 x 8 得 3 a 5 因此M P x 5 x 8 的充要條件是 a 3 a 5 2 求實數(shù)a的一個值 使它成為M P x 5 x 8 的一個充分但不必要條件 就是在集合 a 3 a 5 中取一個值 如取a 0 此時必有M P x 5 x 8 反之 M P x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是M P x 5 x 8 的一個充分不必要條件 反思感悟解答本例 2 時 需借助 1 的結(jié)論 即求某一個結(jié)論的充分不必要條件或必要不充分條件時 一般是先求出這個結(jié)論的充要條件 成為M P x 5 x 8 的一個充分不必要條件 從集合的包含關(guān)系來看 即為確定集合M P x 5 x 8 的一個真子集即可 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2已知p x k q 1 如果q是p的必要不充分條件 那么k的取值范圍是 因為q是p的必要不充分條件 所以k 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 充要條件的證明 例3 已知x y都是非零實數(shù) 且x y 求證 的充要條件是xy 0 思維點撥 充要條件的證明可用其定義 即條件 結(jié)論且結(jié)論 條件 如果每一步的推出都是等價的 也可以把兩個方面的證明合并在一起 用 寫出證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟充要條件的證明方法 1 定義法 分別證明充分性和必要性兩個方面 在解題時要避免出現(xiàn)把充分性當必要性來證明的錯誤 這就需要先分清條件與結(jié)論 若從條件推出結(jié)論 就是充分性 若從結(jié)論推出條件 就是必要性 2 等價法 就是從條件開始 逐步推出結(jié)論 或者從結(jié)論開始 逐步推出條件 但是每一步都是可逆的 即反過來也能推出 故必要性 或者充分性 也可以不再重復(fù)證明 僅作為說明即可 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3已知ab 0 求證 a b 1的充要條件是a3 b3 ab a2 b2 0 思維點撥 本題中ab 0是前提 證明充要條件即證明既是充分條件又是必要條件 必須證明必要性與充分性都成立 證明 先證必要性 a b 1 b 1 a a3 b3 ab a2 b2 a3 1 a 3 a 1 a a2 1 a 2 a3 1 3a 3a2 a3 a a2 a2 1 2a a2 0 必要性成立 再證充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 a b 1 a2 ab b2 0 又 ab 0 a 0 且b 0 從而a2 ab b2 0 a b 1 0 即a b 1 故充分性成立 綜上 a b 1的充要條件是a3 b3 ab a2 b2 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 誤將 必要條件 充當 充要條件 致誤 典例 函數(shù)f x a 1 tan2x 3sinx a2 3a 4為奇函數(shù)的充要條件是 A a 4B a 1C a 4或a 1D a R易錯分析 由f x 為奇函數(shù) 定義域中有0 一定有f 0 0 但反過來 由f 0 0不能說明f x 為奇函數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 該定義域關(guān)于原點對稱 f x 為奇函數(shù)且0 A f 0 0 即a2 3a 4 0 a 4或a 1 當a 1時 易證f x 3sinx x A 是奇函數(shù) 當a 4時 f x 5tan2x 3sinx x A f x 5tan2x 3sinx x A 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 不合題意 a 4應(yīng)舍去 故選B 糾錯心得運用必要條件探求充要條件時 一定要進行驗證 千萬不可以把 必要條件 充當 充要條件 12345 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 既不充分也不必要條件D 充要條件 答案 A 12345 2 已知 是兩個不同的平面 直線a 直線b 命題p a與b無公共點 命題q 則p是q的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件解析 無公共點 a b無公共點 但a b無公共點不能推出 無公共點 即不能推出 所以p是q的必要不充分條件 答案 B 12345 3 函數(shù)y x2 bx c x 0 是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 答案 b 0 12345 4 設(shè)p 1 q x a x a 1 0 若q是p的必要不充分條件 則實數(shù)a的取值范圍是 由q 得B x a x a 1 又q是p的必要不充分條件 則A B 12345 5 已知A B是直線l上任意兩點 O是l外一點 求證 點P在直線l上 證明 必要性 設(shè)點P在直線l上 則由共線向量基本定理知 點P在直線AB上 即點P在直線l上