第三章圓錐曲線與方程 1橢圓 1 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 一 橢圓的定義我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離之和等于常數(shù) 大于 F1F2 的點(diǎn)的集合叫作橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2叫作橢圓的焦點(diǎn) 兩個(gè)焦點(diǎn)F1 F2間的距離叫作橢圓的焦距 特別提醒1 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足 MF1 MF2 常數(shù) F1F2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓 2 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足 MF1 MF2 常數(shù) F1F2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以F1 F2為兩端點(diǎn)的線段 3 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足 MF1 MF2 常數(shù) F1F2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在 一 二 思考辨析 做一做1 下列說(shuō)法正確的是 A 已知F1 6 0 F2 6 0 到F1 F2兩點(diǎn)的距離之和為12的點(diǎn)的軌跡是橢圓B 已知F1 6 0 F2 6 0 到F1 F2兩點(diǎn)的距離之和為8的點(diǎn)的軌跡是橢圓C 到點(diǎn)F1 6 0 F2 6 0 兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M 10 0 到F1 F2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D 到F1 6 0 F2 6 0 距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析 A B D三個(gè)選項(xiàng)中 都不滿足橢圓定義中2a F1F2 的條件 只有C選項(xiàng)滿足 因此選C 答案 C 一 二 思考辨析 二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 名師點(diǎn)撥1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的 標(biāo)準(zhǔn) 指的是橢圓的中心必須在原點(diǎn) 且以兩定點(diǎn)所在直線為x軸 或y軸 兩定點(diǎn)所連線段的垂直平分線為y軸 或x軸 2 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 等號(hào)左邊是 平方 平方 右邊是 1 3 焦點(diǎn)在x軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大 焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大 因此由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置時(shí)要根據(jù)方程中分母的大小來(lái)判斷 簡(jiǎn)記為 焦點(diǎn)位置看大小 焦點(diǎn)隨著大的跑 一 二 思考辨析 A 4B 5C 7D 8解析 由已知得 a2 m 2 b2 10 m 又焦距為4 c 2 m 2 10 m 4 解得m 8 答案 D A 2B 4C 6D 8解析 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知 a2 25 a 5 由橢圓的定義知 PF1 PF2 2a 10 又 PF1 6 PF2 4 答案 B 一 二 思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就是橢圓 2 橢圓的焦點(diǎn)只能在坐標(biāo)軸上 4 兩種橢圓方程中 有時(shí)a b 0 有時(shí)b a 0 探究一 探究二 探究三 探究四 橢圓定義的應(yīng)用 例1 已知B C是兩個(gè)定點(diǎn) BC 6 且 ABC的周長(zhǎng)等于16 求頂點(diǎn)A的軌跡方程 思維點(diǎn)撥 選取線段BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 由B C為兩定點(diǎn) A為動(dòng)點(diǎn) 研究 AB AC 是否為定值 并比較與 BC 的大小關(guān)系 從而判斷點(diǎn)A的軌跡圖形形狀 進(jìn)而得到軌跡方程 探究一 探究二 探究三 探究四 解 如圖 建立平面直角坐標(biāo)系 使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)B C 原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合 由已知 AB AC BC 16 BC 6 有 AB AC 10 6 即點(diǎn)A的軌跡是橢圓 且2c 6 2a 16 6 10 c 3 a 5 b2 52 32 16 但當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上 即y 0時(shí) A B C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟找出點(diǎn)A的軌跡滿足 AB AC 10 6后 知A的軌跡是橢圓 用定義法求出其方程 但要注意去掉不符合題意的點(diǎn) 5 0 5 0 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練1過(guò)橢圓4x2 y2 1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A B兩點(diǎn) F2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn) 求 ABF2的周長(zhǎng) 解 根據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖所示 A B在橢圓4x2 y2 1上 a2 1 2a 2 AF1 AF2 2a 2 BF1 BF2 2a 2 AF1 BF1 AF2 BF2 4 即 AB AF2 BF2 4 ABF2的周長(zhǎng)為4 探究一 探究二 探究三 探究四 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 4 0 4 0 橢圓上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10 思維點(diǎn)撥 根據(jù)題意 先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置 再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 從而確定a b的值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 c 4 2a 10 b2 a2 c2 9 2 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 探究一 探究二 探究三 探究四 3 方法一 探究一 探究二 探究三 探究四 方法二設(shè)橢圓的一般方程為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 反思感悟待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路 首先要 定位 即確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 從而確定橢圓方程的類型 其次是 定量 即利用條件確定方程中a b的值 若不能確定焦點(diǎn)的位置 可分類設(shè)出方程或設(shè)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式 統(tǒng)一形式 mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 或 1 m 0 n 0 m n 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 A 3B 5C 3或5D 3思維點(diǎn)撥 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種 由于題目所給條件不能確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸 因此需要分類討論 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí) a2 4 b2 m 由2c 2得c 1 4 m 1 m 3 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí) a2 m b2 4 由2c 2得c 1 m 4 1 m 5 綜上可知 m 3或m 5 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟已知橢圓方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí) 先確定所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程 若不是 需化為標(biāo)準(zhǔn)方程 再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定a b c的值 探究一 探究二 探究三 探究四 2 求橢圓mx2 y2 m m 0 的焦點(diǎn)坐標(biāo) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 例4 已知橢圓 a b 0 上一點(diǎn)P F1 F2為橢圓的焦點(diǎn) 若 F1PF2 求 PF1F2的面積 思維點(diǎn)撥 根據(jù)橢圓的定義可知 PF1 PF2 2a 兩邊平方可得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 4a2 在 PF1F2中 由余弦定理得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 4c2 兩式相減可求 探究一 探究二 探究三 探究四 解 如圖 由橢圓定義 得 PF1 PF2 2a 而在 PF1F2中 由余弦定理得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos F1F2 2 4c2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos 4c2 即4 a2 c2 2 PF1 PF2 1 cos 反思感悟與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明 應(yīng)考慮用橢圓的定義及三角形中邊與角的關(guān)系 應(yīng)用余弦定理或正弦定理 來(lái)解決 探究一 探究二 探究三 探究四 2 求 PF1 PF2 的最大值 解 1 設(shè) PF1 m PF2 n 由題意知a2 100 b2 64 則c2 a2 b2 36 故a 10 c 6 根據(jù)橢圓的定義 有m n 20 即 m n 2 3mn 144 探究一 探究二 探究三 探究四 2 a 10 根據(jù)橢圓的定義 有 PF1 PF2 20 當(dāng)且僅當(dāng) PF1 PF2 時(shí)等號(hào)成立 PF1 PF2 的最大值是100 12345 1 橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1 F2的距離之差為2 則 PF1F2的形狀為 A 直角三角形B 銳角三角形C 鈍角三角形D 等邊三角形解析 由 PF1 PF2 8 PF1 PF2 2 解得 PF1 5 PF2 3 又 F1F2 4 故滿足 PF2 2 F1F2 2 PF1 2 PF1F2為直角三角形 答案 A 12345 2 已知F1 1 0 F2 1 0 是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn) 過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A B兩點(diǎn) 且 AB 3 則C的方程為 解析 設(shè)出橢圓的方程 依據(jù)題目條件用待定系數(shù)法求參數(shù) 由題意知橢圓焦點(diǎn)在x軸上 且2c F1F2 2 答案 C 12345 直線l與橢圓相交于A B兩點(diǎn) 且 AF2 AB BF2 成等差數(shù)列 則 AB AF1 AF2 2a 2 BF1 BF2 2 相加得 AF1 BF1 AF2 BF2 4 AF2 BF2 4 AF1 BF1 4 AB AF2 AB BF2 成等差數(shù)列 2 AB AF2 BF2 12345 F1PF2 60 則 F1PF2的面積為 解析 設(shè) PF1 m PF2 n 則m n 2a 由4c2 m2 n2 2mncos F1PF2 12345 5 在Rt ABC中 CAB 90 AB 2 AC 曲線E過(guò)C點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng) 且保持 PA PB 的值不變 求曲線E的方程 解 如圖 以AB所在直線為x軸 線段AB的垂直平分線為y軸 建立直角坐標(biāo)系 在Rt ABC中