第三章變化率與導(dǎo)數(shù) 1變化的快慢與變化率 1 函數(shù)y f x 從x1到x2的平均變化率 1 自變量的改變量為x2 x1 記作 x 2 函數(shù)值的改變量為f x2 f x1 記作 y 4 平均變化率的意義 刻畫函數(shù)值在區(qū)間 x1 x2 上變化的快慢 名師點(diǎn)撥對函數(shù)平均變化率的兩點(diǎn)說明 1 函數(shù)的平均變化率是通過實(shí)際問題中的平均速度 氣球的膨脹率 曲線的割線斜率等問題抽象出來的一個(gè)數(shù)學(xué)概念 定義為函數(shù)值的改變量 y與自變量的改變量 x的比值 2 平均變化率是曲線陡峭程度的 數(shù)量化 或者說 曲線陡峭程度是平均變化率的 視覺化 2 瞬時(shí)變化率對于函數(shù)y f x 在自變量x從x0變到x1的過程中 1 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值為平均變化率 記作 2 在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率 當(dāng) x趨于0時(shí) 平均變化率趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率 特別提醒1 平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系 1 區(qū)別 平均變化率不是瞬時(shí)變化率 平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間 x1 x2 上變化的快慢 瞬時(shí)變化率刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢 2 聯(lián)系 當(dāng) x趨于0時(shí) 平均變化率趨于一個(gè)常數(shù) 這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率 它是一個(gè)固定值 2 對瞬時(shí)變化率的兩點(diǎn)說明 1 平均變化率隨著自變量區(qū)間的變化而變化 在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率是一個(gè)固定值 2 用平均變化率估計(jì)瞬時(shí)變化率不一定是精確值 但在一定精確度的情況下 不影響其取值的嚴(yán)謹(jǐn)性 答案 3gm s 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 自變量的改變量 x是一個(gè)較小的量 x可正可負(fù)但不能為零 2 瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間 x0 x1 上變化的快慢 3 函數(shù)f x x在x 0處的瞬時(shí)變化率為0 答案 1 2 3 探究一 探究二 思維辨析 例1 已知函數(shù)f x 3x 1和g x 2x2 1 分別計(jì)算f x 與g x 在 3到 1之間和在1到1 x之間的平均變化率 探究一 探究二 思維辨析 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解 解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量 x與函數(shù)值的增量 y 求平均變化率的主要步驟是 1 計(jì)算函數(shù)值的改變量 y f x1 f x0 2 計(jì)算自變量的改變量 x x1 x0 探究一 探究二 思維辨析 變式訓(xùn)練1已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s t t2 3 則在時(shí)間 3 3 t 中 相應(yīng)的平均速度等于 答案 A 探究一 探究二 思維辨析 例2 柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的 鋪路工人鋪路時(shí)需要對瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀 如果開始加熱后第x小時(shí)的瀝青溫度 單位 為 探究一 探究二 思維辨析 解 0 x 1時(shí) f x 80 x2 20 15分鐘 0 25小時(shí) 30分鐘 0 5小時(shí) 瀝青溫度在15分鐘時(shí)的瞬時(shí)變化率為所以瀝青溫度在15分鐘時(shí)的瞬時(shí)變化率為40 同理可得 瀝青溫度在30分鐘時(shí)的瞬時(shí)變化率為80 探究一 探究二 思維辨析 反思感悟估計(jì)瞬時(shí)變化率的四個(gè)步驟第一步 定點(diǎn) 明確求哪個(gè)點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率 第二步 定區(qū)間 以此點(diǎn)為端點(diǎn)取一個(gè)區(qū)間計(jì)算平均變化率 第三步 縮區(qū)間 逐步縮小區(qū)間長度 第四步 估計(jì)值 據(jù)平均變化率逼近的情況估計(jì)瞬時(shí)變化率 探究一 探究二 思維辨析 變式訓(xùn)練2若物體做s t 2 1 t 2的直線運(yùn)動 則其在t 4s時(shí)的瞬時(shí)速度為 A 12B 12C 4D 4答案 A 探究一 探究二 思維辨析 因不能正確理解平均變化率的概念而致誤 典例 函數(shù)y 2x 5在 0 2 內(nèi)的平均變化率為 易錯(cuò)分析 1 誤認(rèn)為平均變化率沒有順序 而導(dǎo)致錯(cuò)誤 要注意自變量的改變量為 x x2 x1 函數(shù)值的改變量為 y y2 y1 解析 當(dāng)x 0時(shí) y 5 當(dāng)x 2時(shí) y 9 函數(shù)在 0 2 內(nèi)的平均變化率為2 答案 2糾錯(cuò)心得正確理解平均變化率的概念對于函數(shù)y f x 當(dāng)自變量由x1變化到x2時(shí) 相應(yīng)的函數(shù)值也從y1變化到y(tǒng)2 此時(shí)自變量的改變量為 x x2 x1 函數(shù)值的改變量為 y y2 y1 探究一 探究二 思維辨析 變式訓(xùn)練函數(shù)y x2 2x 1在x 2附近的平均變化率為 A 6B x 6C 2D x 2解析 設(shè)y f x x2 2x 1 x 1 2 y f 2 x f 2 2 x 1 2 2 1 2 3 x 2 9 x 2 6 x x 6 函數(shù)y x2 2x 1在x 2附近的平均變化率為 x 6 答案 B 1234 5 1 函數(shù)y f x 的自變量x由x0改變到x0 x時(shí) 函數(shù)值的改變量 y等于 A f x0 x B f x0 xC f x0 xD f x0 x f x0 解析 寫出自變量x0和x0 x對應(yīng)的函數(shù)值f x0 和f x0 x 兩式相減 就得到了函數(shù)值的改變量 答案 D 1234 5 2 函數(shù)f x x2 1在x0到x0 x之間的平均變化率為 A 2x0 1B 2x0 xC 2x0 x x 2D x 2 x 1答案 B 12345 3 在x 1附近 取 x 0 3 在四個(gè)函數(shù) y x y x2 y x3 y 中 平均變化率最大的是 A B C D 解析 的平均變化率為1 的平均變化率為2 3 的平均變化率為3 99 的平均變化率約為 0 77 答案 B 1234 5 答案 x 5 1234 5 5 某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示 試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月以及第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率