3雙曲線 3 1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 一 雙曲線定義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù) 大于零且小于 F1F2 的點(diǎn)的集合叫作雙曲線 定點(diǎn)F1 F2叫作雙曲線的焦點(diǎn) 兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距名師點(diǎn)撥要注意定義中的限制條件 小于 F1F2 絕對(duì)值 非零 1 若將 小于 F1F2 改為 等于 F1F2 其余條件不變 此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1 F2為端點(diǎn)的兩條射線 包括端點(diǎn) 若將其改為 大于 F1F2 其余條件不變 此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 2 若將絕對(duì)值去掉 其余條件不變 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡成為雙曲線的一支 3 若將 等于非零常數(shù) 改為 等于零 則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線 一 二 思考辨析 做一做1 已知A 0 5 B 0 5 PA PB 2a 當(dāng)a 3或5時(shí) P點(diǎn)的軌跡為 A 雙曲線或一條直線B 雙曲線或兩條直線C 雙曲線的一支或一條直線D 雙曲線的一支或一條射線解析 當(dāng)a 3時(shí) 2a 6 此時(shí) AB 10 P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支 靠近點(diǎn)B 當(dāng)a 5時(shí) 2a 10 此時(shí) AB 10 P點(diǎn)的軌跡為射線 是以B為端點(diǎn)向上的一條射線 答案 D 一 二 思考辨析 二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 名師點(diǎn)撥1 在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中 可用x2 y2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn)在系數(shù)為正項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上 2 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a b是雙曲線的定形條件 但不定位 雙曲線在坐標(biāo)系中的位置由焦點(diǎn)來(lái)確定 一 二 思考辨析 做一做2 若k 1 則關(guān)于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲線是 A 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 答案 C 一 二 思考辨析 做一做3 已知雙曲線 則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 解析 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a2 16 b2 9 則c2 a2 b2 16 9 25 故c 5 又焦點(diǎn)在x軸上 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 5 0 5 0 答案 B 一 二 思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就是雙曲線 2 對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 三個(gè)參數(shù)a b c中 最大的一定是c 探究一 探究二 探究三 思維辨析 雙曲線的定義及應(yīng)用 例1 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P x y 到兩個(gè)定點(diǎn)F1 1 0 F2 1 0 的距離的差的絕對(duì)值為定值a a 0 試討論點(diǎn)P的軌跡方程 思維點(diǎn)撥 從題設(shè)條件看 P點(diǎn)的軌跡似乎是雙曲線 但注意到雙曲線定義中的條件 所以要確定點(diǎn)P的軌跡方程 應(yīng)依據(jù)條件 對(duì)a進(jìn)行分類討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 F1F2 2 1 當(dāng)a 2時(shí) 軌跡是兩條射線y 0 x 1 與y 0 x 1 2 當(dāng)a 0時(shí) 軌跡是線段F1F2的垂直平分線 即y軸 方程為x 0 4 當(dāng)a 2時(shí) 軌跡不存在 反思感悟利用雙曲線的定義確定點(diǎn)的軌跡方程時(shí) 要注意定義中的條件0 2a F1F2 若條件中不能確定 F1F2 與2a的大小 需分類討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1已知在 ABC中 C 2 0 B 2 0 sinB sinC sinA 求頂點(diǎn)A的軌跡方程 由雙曲線的定義知 頂點(diǎn)A的軌跡是以C B為焦點(diǎn) 實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支 c 2 a 1 b2 c2 a2 3 探究一 探究二 探究三 思維辨析 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 方法一 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 方法二 雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定 設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1 mn 0 點(diǎn)P1 P2在雙曲線上 反思感悟當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí) 將雙曲線方程設(shè)為mx2 ny2 1 mn 0 運(yùn)算比較簡(jiǎn)便 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 6 0 6 0 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 5 2 解 1 由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在x軸上 且c 6 而c2 a2 b2 即b2 36 a2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 方法一 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 方法二 設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1 mn 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 例3 已知雙曲線16x2 9y2 144 F1 F2是左 右焦點(diǎn) 點(diǎn)P在雙曲線上 且 PF1 PF2 32 求 F1PF2 思維點(diǎn)撥 本題主要考查雙曲線中的有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義及余弦定理求解 解 PF1 PF2 2a 6 PF1 PF2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 PF1 2 PF2 2 36 2 32 100 又 F1F2 2c 10 F1PF2 90 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟本題采用整體代換的思想 避免了單獨(dú)求解 PF1 與 PF2 的值 這種思想在圓錐曲線問(wèn)題中經(jīng)常用到 另外 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題是橢圓 雙曲線中一類重要問(wèn)題 解題的思路一般是定義和余弦定理結(jié)合 采用整體代換的方法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3設(shè)F1 F2為雙曲線 y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn) 點(diǎn)P在雙曲線上且滿足 F1PF2 90 則 F1PF2的面積為 解析 由雙曲線定義 得 PF1 PF2 4 PF1 2 2 PF1 PF2 PF2 2 16 答案 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因?qū)﹄p曲線的定義理解不當(dāng)而致誤 典例 雙曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn) 5 0 的距離為8 5 求點(diǎn)P到 5 0 的距離 易錯(cuò)分析 解答本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩處 一是對(duì)雙曲線的定義模糊不清 忽略絕對(duì)值而出現(xiàn)漏解 二是需對(duì)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn) 如右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是雙曲線上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值 解 設(shè)F1 5 0 F2 5 0 由雙曲線定義 知 PF1 PF2 8 故 PF2 16 5或0 5 又因?yàn)樽箜旤c(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9 8 5 所以點(diǎn)P只能在雙曲線的右支上 所以 PF1 16 5 即點(diǎn)P到 5 0 的距離為16 5 糾錯(cuò)心得由題意 知雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為1 所以 PF1 0 5不合題意 事實(shí)上 在求解此類問(wèn)題時(shí) 應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線的定義 分析出點(diǎn)P的位置情況 然后再求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練若雙曲線x2 3y2 k的焦距等于8 則實(shí)數(shù)k 答案 12或 12 12345 A 10C k 0D k 1或k0 1 k 1 答案 A 12345 2 已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1 0 點(diǎn)P位于該雙曲線上 線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 則雙曲線的方程是 答案 B 12345 答案 B 12345 4 如圖 已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A B為左 右焦點(diǎn) 且過(guò)C D兩頂點(diǎn) 若AB 4 BC 3 則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 A B為雙曲線的左 右焦點(diǎn) 且AB 4 雙曲線的焦點(diǎn)為 2 0 2 0 c 2 12345 5 某中心接到其正東 正西 正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告 正西 正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響 正東觀測(cè)點(diǎn)聽到該巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s 已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m 試確定該巨響發(fā)生的位置 假定當(dāng)時(shí)聲音傳播速度為340m s 相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上 解 如圖 以接報(bào)中心為原點(diǎn)O 正東 正北方向?yàn)閤軸 y軸正方向 建立直角坐標(biāo)系 12345 設(shè)A B C分別是正西 正東 正北觀測(cè)點(diǎn) 則A 1020 0 B 1020 0 C 0 1020 設(shè)P x y 為巨響發(fā)生點(diǎn) 由A C同時(shí)聽到巨響聲 得 PA PC 故點(diǎn)P在AC的垂直平分線PO上 PO的方程為y x B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到巨響聲 PB PA 340 4 1360 2 1020 2040 由雙曲線的定義 知P點(diǎn)在以A B為焦點(diǎn)的雙曲線上 由題意 得a 680 c 1020 b2 c2 a2 10202 6802 5 3402