4 2圓錐曲線的共同特征4 3直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 一 二 思考辨析 一 圓錐曲線的共同特征 橢圓 雙曲線 拋物線的第二定義 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e 當(dāng)01時(shí) 圓錐曲線是雙曲線 當(dāng)e 1時(shí) 圓錐曲線是拋物線 做一做1 已知橢圓 a b 0 上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0 求點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1 F2的距離 解 設(shè)F1 F2分別為橢圓的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d 同理可求得 PF1 a ex0 一 二 思考辨析 二 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系xOy中 給定兩條曲線C1 C2 它們由如下方程確定 C1 f x y 0 C2 g x y 0 求曲線C1和C2的交點(diǎn) 即要求出這些交點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)M x0 y0 是曲線C1和C2的一個(gè)交點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C1上 所以它的坐標(biāo)滿足方程f x y 0 因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C2上 所以它的坐標(biāo)也滿足方程g x y 0 從而 曲線C1和C2的任意一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程組 反過(guò)來(lái) 該方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對(duì)應(yīng)著這兩條曲線某一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo) 一 二 思考辨析 名師點(diǎn)撥兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是由這兩條曲線的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解 方程組有幾個(gè)解 則兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn) 一 二 思考辨析 做一做2 求曲線2y2 3x 3 0與曲線x2 y2 4x 5 0的公共點(diǎn) 兩曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) 1 0 一 二 思考辨析 特別提醒1 判斷直線與雙曲線 直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí) 要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況 2 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件 3 直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件 一 二 思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 2 直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 則直線與拋物線相切 3 雙曲線的離心率越大 其漸近線斜率的絕對(duì)值就越大 4 直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) 則直線與雙曲線相切 探究一 探究二 探究三 一題多解 圓錐曲線的共同特征 例1 已知定點(diǎn)A 2 F是橢圓 1的右焦點(diǎn) 在橢圓上求一點(diǎn)M 使 AM 2 MF 取得最小值 思維點(diǎn)撥 點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部 先將點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解 探究一 探究二 探究三 一題多解 即 AM 2 MF AM MN 當(dāng)A M N同時(shí)在垂直于右準(zhǔn)線的一條直線上時(shí) AM 2 MF 取得最小值 反思感悟若點(diǎn)M表示圓錐曲線上一點(diǎn) F是圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn) 則解決與 MF 有關(guān)的問(wèn)題 通常先將 MF 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到同側(cè)準(zhǔn)線的距離 再利用數(shù)形結(jié)合思想求解 探究一 探究二 探究三 一題多解 答案 橢圓 探究一 探究二 探究三 一題多解 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例2 已知雙曲線x2 y2 4 直線l y k x 1 試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍 使 1 直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 2 直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn) 3 直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn) 思維點(diǎn)撥 在解決直線與雙曲線位置關(guān)系時(shí) 對(duì)消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零應(yīng)分類(lèi)討論 且要結(jié)合判別式討論 探究一 探究二 探究三 一題多解 得 1 k2 x2 2k2x k2 4 0 當(dāng)1 k2 0 即k 1時(shí) 直線l與雙曲線的漸近線平行 方程 可化為2x 5 故此時(shí)方程 只有一個(gè)實(shí)數(shù)解 當(dāng)1 k2 0 即k 1時(shí) 2k2 2 4 1 k2 k2 4 4 4 3k2 探究一 探究二 探究三 一題多解 綜上所述 反思感悟在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí) 可結(jié)合圖形 利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)分析各種情況 以防漏解 探究一 探究二 探究三 一題多解 變式訓(xùn)練2求過(guò)P 0 1 且與拋物線y2 2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程 解 當(dāng)斜率不存在時(shí) x 0 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)直線為y kx 1 消去y 整理 得k2x2 2 k 1 x 1 0 當(dāng)k 0時(shí) y 1 當(dāng)k 0時(shí) 0 k 直線方程為x 2y 2 0 直線方程有三條 分別為x 0 y 1 x 2y 2 0 探究一 探究二 探究三 一題多解 弦長(zhǎng)問(wèn)題 思維點(diǎn)撥 由直線l1方程的特點(diǎn) 知直線l1恰好過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn) 即有a2 b2 8 把直線l2的方程代入橢圓方程 利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求解 探究一 探究二 探究三 一題多解 b2 3a2 x2 6a2cx a2 3c2 b2 0 設(shè)直線l2與橢圓交于點(diǎn)M x1 y1 N x2 y2 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 探究一 探究二 探究三 一題多解 化簡(jiǎn) 得a2 3b2 聯(lián)立 得a2 6 b2 2 反思感悟首先設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)M x1 y1 N x2 y2 直線MN 后結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解 這種 設(shè)而不求 的思想要熟練掌握 探究一 探究二 探究三 一題多解 解 設(shè)直線l方程y 2x b 探究一 探究二 探究三 一題多解 中點(diǎn)弦問(wèn)題 分析一設(shè)出直線AB的方程 與橢圓的方程聯(lián)立 利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解 探究一 探究二 探究三 一題多解 解法一易知直線的斜率k存在 設(shè)所求直線的方程為y 1 k x 2 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則x1 x2是上述方程的兩根 故所求直線的方程為x 2y 4 0 探究一 探究二 探究三 一題多解 分析二將兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) x1 y1 x2 y2 分別代入橢圓方程中 兩式相減 構(gòu)造出x1 x2 y1 y2 與中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān) 弦所在直線的斜率 從而獲解 解法二設(shè)A x1 y1 B x2 y2 M 2 1 為AB的中點(diǎn) x1 x2 4 y1 y2 2 又A B兩點(diǎn)在橢圓上 故所求直線的方程為x 2y 4 0 探究一 探究二 探究三 一題多解 分析三設(shè)出點(diǎn)A坐標(biāo) 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出另一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo) 代入橢圓的方程 解法三設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A x y 由于AB的中點(diǎn)為M 2 1 則另一個(gè)交點(diǎn)為B 4 x 2 y A B兩點(diǎn)都在橢圓上 得x 2y 4 0 顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程 代入驗(yàn)證可知點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程 而過(guò)A B的直線只有一條 故所求直線的方程為x 2y 4 0 探究一 探究二 探究三 一題多解 反思感悟弦的中點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的有求弦的中點(diǎn)的軌跡方程 求弦所在直線的方程 主要求解策略有 1 韋達(dá)定理法 把中點(diǎn)弦所在的直線方程與曲線方程聯(lián)立 消去x 或y 得到一個(gè)關(guān)于y 或x 的二元一次方程 設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) 但 設(shè)而不求 而是利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解 此法為通法 2 點(diǎn)差法 設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo) 代入曲線方程 兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系 3 中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法 先設(shè)出弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo) 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出另一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo) 代入曲線方程作差可得 探究一 探究二 探究三 一題多解 1 求橢圓方程 2 一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M N 且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 求直線l傾斜角的取值范圍 探究一 探究二 探究三 一題多解 12345 解析 由已知可設(shè)P x0 y0 M 2 0 N 2 0 答案 A 12345 A 4a 4k2 1B 4k2 a 1C a 4k2 1D a 4k2 1 直線與橢圓相切 64k2 4 a 4k2 4 4a 0 整理得4k2 a 1 0 答案 D 12345 解析 設(shè)此弦所在直線與橢圓的交點(diǎn)分別為M x1 y1 N x2 y2 12345 所以點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 12345 5 已知拋物線y2 2x 過(guò)點(diǎn)Q 2 1 作一條直線交拋物線于A B兩點(diǎn) 試求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程 解 設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M 并設(shè)A B M的坐標(biāo)分別為