第二章圓錐曲線與方程 1橢圓 1 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1 橢圓的定義我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離之和等于常數(shù) 大于 F1F2 的點(diǎn)的集合叫作橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2叫作橢圓的焦點(diǎn) 兩個(gè)焦點(diǎn)F1 F2間的距離叫作橢圓的焦距 名師點(diǎn)撥點(diǎn)M滿足集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c a 0 c 0 且a c都為常數(shù) 1 當(dāng)a c 即2a 2c時(shí) 動(dòng)點(diǎn)軌跡為以F1 F2為焦點(diǎn)的橢圓 2 當(dāng)a c 即2a 2c時(shí) 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2 3 當(dāng)a c 即2a 2c 動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 對(duì)于后兩種情況應(yīng)該注意 它們可以幫助我們理解橢圓的定義 并在具體問(wèn)題中做出適當(dāng)?shù)呐袛?做一做1 1 命題甲 動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A B的距離之和 PA PB 2a a 0 且a為常數(shù) 命題乙 點(diǎn)P的軌跡是橢圓 且A B是焦點(diǎn) 則命題乙是命題甲的 A 充要條件B 充分不必要條件C 既不充分也不必要條件D 必要不充分條件 2 已知F1 F2是定點(diǎn) F1F2 8 動(dòng)點(diǎn)M滿足 MF1 MF2 8 則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 A 橢圓B 直線C 線段D 圓 解析 1 若點(diǎn)P的軌跡是橢圓 且A B是焦點(diǎn) 則一定有 PA PB 2a 所以乙是甲的充分條件 反之 若 PA PB 2a 不能推出點(diǎn)P的軌跡是橢圓 僅當(dāng)2a AB 時(shí) 點(diǎn)P的軌跡才是橢圓 2 MF1 MF2 8 F1F2 點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2 故選C 答案 1 B 2 C 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 名師點(diǎn)撥對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí) 1 標(biāo)準(zhǔn)的幾何特征 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸或y軸上 對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸 2 標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)特征 方程右邊是1 左邊是關(guān)于x y的平方和 并且分母不相等 3 a b c三個(gè)量的關(guān)系 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間距離的和的一半 可借助圖形幫助記憶 a b c 都是正數(shù) 恰是構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊 a是斜邊 所以a b a c 且a2 b2 c2 4 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何判斷其焦點(diǎn)的位置 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 在標(biāo)準(zhǔn)方程中 x2項(xiàng)的分母比較大 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 在標(biāo)準(zhǔn)方程中 y2項(xiàng)的分母比較大 2 由已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 且a2 16 b2 7 c2 9 c 3 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 3 0 和 3 0 答案 1 C 2 3 0 和 3 0 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就是橢圓 2 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 a b的大小是不確定的 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 已知兩定點(diǎn)F1 1 0 F2 1 0 動(dòng)點(diǎn)P滿足 PF1 PF2 2 F1F2 1 求點(diǎn)P的軌跡方程 2 若 F1PF2 120 求 PF1F2的面積 分析 1 利用定義求出方程 2 由橢圓的定義和余弦定理分別建立關(guān)于 PF1 PF2 的方程 求出 PF1 PF2 的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 依題意知 F1F2 2 PF1 PF2 2 F1F2 4 2 F1F2 點(diǎn)P的軌跡是以F1 F2為焦點(diǎn)的橢圓 2 設(shè)m PF1 n PF2 則m n 2a 4 在 PF1F2中 由余弦定理 得 F1F2 2 m2 n2 2mncos F1PF2 4 m n 2 2mn 1 cos120 解得mn 12 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟橢圓定義的應(yīng)用技巧 1 橢圓的定義具有雙向作用 即若 MF1 MF2 2a 2a F1F2 則點(diǎn)M的軌跡是橢圓 反之 橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a 2 在橢圓中 由橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成的焦點(diǎn)三角形引出的問(wèn)題很多 要解決這些題目 我們經(jīng)常利用橢圓的定義 正弦定理 余弦定理及三角形面積公式 這就需要我們?cè)诮忸}時(shí) 要充分理解題意 分析條件 利用橢圓定義 正弦定理 余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關(guān)系 在解題中 經(jīng)常把 PF1 PF2 看作一個(gè)整體來(lái)處理 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1如圖所示 已知過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2的直線AB垂直于x軸 交橢圓于A B兩點(diǎn) F1是橢圓的左焦點(diǎn) 求 AF1B的周長(zhǎng) 所以a 5 故有 AF1 AF2 2a 10 BF1 BF2 2a 10 AF2 BF2 AB 所以 AF1B的周長(zhǎng)為 AF1 BF1 AB AF1 BF1 AF2 BF2 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 2a 20 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1 3 0 F2 3 0 并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10 分析應(yīng)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 注意 定位 與 定量 的確定 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 1 作判斷 依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上 還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能 2 設(shè)方程 在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 3 找關(guān)系 依據(jù)已知條件 建立關(guān)于a b c或m n的方程組 4 得方程 解方程組 代入所設(shè)方程即為所求 其主要步驟可歸納為 先定型 再定量 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 4 0 4 0 橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和是10 2 焦點(diǎn)在y軸上 且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn) 0 2 和 1 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 已知兩圓C1 x 4 2 y2 9 C2 x 4 2 y2 169 動(dòng)圓P與C1外切 與C2內(nèi)切 求圓心P的軌跡 分析由平面幾何知識(shí)知 兩圓相切時(shí)常連接兩圓心 利用切點(diǎn)在連心線上及圓心距與兩半徑的關(guān)系 求解此類(lèi)問(wèn)題 解由條件 兩圓半徑分別是3和13 設(shè)P x y 動(dòng)圓半徑為r 即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)C1 C2的距離之和為定值16 又16 C1C2 8 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用橢圓的定義求軌跡方程 是先由題意找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件 看其是否符合橢圓的定義 再確定橢圓的方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3已知B C是兩個(gè)定點(diǎn) BC 8 且 ABC的周長(zhǎng)等于18 求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程 解以過(guò)B C兩點(diǎn)的直線為x軸 線段BC的垂直平分線為y軸 建立平面直角坐標(biāo)系xOy 如圖所示 由 BC 8可知點(diǎn)B 4 0 C 4 0 由 AB AC BC 18得 AB AC 10 8 BC 因此 點(diǎn)A的軌跡是以B C為焦點(diǎn)的橢圓 這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a 10 但點(diǎn)A不在x軸上 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因考慮不全面而導(dǎo)致失誤 典例 已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3 0 a 3b 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 易錯(cuò)分析本題沒(méi)有說(shuō)明焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上 應(yīng)考慮焦點(diǎn)在x軸 y軸上兩種情形 解題時(shí)易主觀地認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上 這是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯(cuò)心得平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)一定要對(duì)每一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)理解透徹 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練已知橢圓的中心為原點(diǎn) 焦距為8 兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 6 0 6 0 求橢圓的方程 12345 1 設(shè)P是橢圓上的點(diǎn) 若F1 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 則 PF1 PF2 等于 A 4B 5C 8D 10解析 由橢圓定義知 PF1 PF2 2a a2 25 2a 10 PF1 PF2 10 答案 D 6 12345 2 已知橢圓上一點(diǎn)M到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2 則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 A 1B 2C 4D 6解析 由橢圓方程可知2a 8 設(shè)F1 F2為焦點(diǎn) 令 MF1 2 則 MF2 2a 2 6 答案 D 6 12345 3 已知橢圓4x2 ky2 4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 0 1 則實(shí)數(shù)k的值是 答案 2 6 12345 6 12345 6 12345 6 5 已知橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1 F2的連線夾角為直角 則 PF1 PF2 F1F2 2c 10 由于PF1 PF2 所以由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 即 PF1 2 PF2 2 100 又由橢圓定義知 PF1 PF2 2a 14 所以 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 100 即196 2 PF1 PF2 100 解得 PF1 PF2 48 答案 48 12345 6 6 已知橢圓上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為6 N是MF1的中點(diǎn) 求 ON 的值 解設(shè)右焦點(diǎn)為F2 連接F2M O為F1F2的中點(diǎn) N是MF1的中點(diǎn) ON MF2 又 MF1 MF2 2a 10 MF1 6 MF2 4 ON 2