3雙曲線 3 1雙曲線及其標準方程 1 雙曲線的定義 1 定義 在平面內(nèi)到兩個定點F1 F2距離之差的絕對值等于常數(shù) 大于0且小于 F1F2 的點的集合叫作雙曲線 2 符號表示 MF1 MF2 2a 常數(shù) 0 2a F1F2 3 焦點 兩個定點F1 F2 4 焦距 兩焦點之間的距離 表示為 F1F2 名師點撥定義中為何強調(diào) 絕對值 和 0 F1F2 則動點的軌跡不存在 2 雙曲線定義中應(yīng)注意關(guān)鍵詞 絕對值 若去掉定義中 絕對值 三個字 動點軌跡只能是雙曲線的一支 平面內(nèi)到兩定點F1 F2的距離的差的絕對值為非零常數(shù) 即 MF1 MF2 2a 關(guān)鍵詞 平面內(nèi) 當2a F1F2 時 軌跡不存在 做一做1 已知兩定點F1 3 0 F2 3 0 在滿足下列條件的平面內(nèi)動點P的軌跡中 是雙曲線的是 A PF1 PF2 5B PF1 PF2 6C PF1 PF2 7D PF1 PF2 0解析 A中 F1F2 6 PF1 PF2 5 F1F2 動點P的軌跡不存在 D中 PF1 PF2 0 即 PF1 PF2 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì) 動點P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線 故選A 答案 A 2 雙曲線的標準方程 特別提醒 1 標準方程的代數(shù)特征 方程右邊是1 左邊是關(guān)于x y的平方差 并且分母大小關(guān)系不確定 2 a b c三個量的關(guān)系 標準方程中的兩個參數(shù)a和b確定了雙曲線的形狀和大小 是雙曲線的定形條件 這里b2 c2 a2 與橢圓中b2 a2 c2相區(qū)別 且橢圓中a b 0 而雙曲線中 a b大小不確定 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分又不必要條件答案 A 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù) 小于兩定點間距離 的點的軌跡是雙曲線 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析可先設(shè)出雙曲線的標準方程 再構(gòu)造關(guān)于a b的方程組 求得a b 從而求得雙曲線的標準方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 雙曲線標準方程的兩種求法 1 定義法 根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a b c 再寫出雙曲線的標準方程 特別地 若已知雙曲線上兩點的坐標 則雙曲線的標準方程可能有兩個 把點的坐標代入 得到關(guān)于a b的兩個關(guān)系式 由此求解 也可設(shè)雙曲線方程為Ax2 By2 1 AB 0 把點的坐標代入求出A B的值 此種方法計算過程簡單 也避免了分類討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的四個步驟 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 如圖 在 ABC中 已知 AB 4 且三個內(nèi)角A B C滿足2sinA sinC 2sinB 建立適當?shù)淖鴺讼?求頂點C的軌跡方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟 1 求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題 常見的方法有兩種 列出等量關(guān)系 化簡得到方程 尋找?guī)缀侮P(guān)系 由雙曲線的定義 得出對應(yīng)的方程 2 求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意 雙曲線的焦點所在的坐標軸 檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2已知雙曲線的方程是 點P在雙曲線上 且到其中一個焦點F1的距離為10 點N是PF1的中點 求 ON 的大小 O為坐標原點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16 求點M到另一個焦點的距離 2 如圖 若P是雙曲線左支上的點 且 PF1 PF2 32 試求 F1PF2的面積 分析 1 雙曲線的定義中 MF1 MF2 2a 6 2 利用雙曲線的定義和 PF2 F1F2 32 可利用余弦定理求夾角 然后計算面積 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由雙曲線的定義得 MF1 MF2 2a 6 又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16 假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x 則 16 x 6 解得x 10或x 22 故點M到另一個焦點的距離為10或22 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟 1 求雙曲線上一點到某一焦點的距離時 若已知該點的橫 縱坐標 則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果 若已知該點到另一焦點的距離 則根據(jù) PF1 PF2 2a求解 注意對所求結(jié)果進行必要的驗證 負數(shù)應(yīng)該舍去 且所求距離應(yīng)該不小于c a 2 在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時 要注意兩點 定義中的條件 PF1 PF2 2a的應(yīng)用 要利用余弦定理 勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算 在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用 如 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 若 F1PF2 90 求 F1PF2的面積 2 若 F1PF2 60 F1PF2的面積是多少 若 F1PF2 120 F1PF2的面積又是多少 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視隱含條件導(dǎo)致所求軌跡方程錯誤 典例 已知定點A 3 0 和定圓C x 3 2 y2 16 動圓和圓C相外切 并且過定點A 求動圓圓心M的軌跡方程 易錯分析求解中易把動點的軌跡看成雙曲線 忽視了雙曲線定義中 距離的差的絕對值是常數(shù) 這一條件 動點軌跡實際上是雙曲線的一支 解設(shè)M x y 設(shè)動圓與圓C的切點為B BC 4 則 MC MB BC MA MB 所以 MC MA BC 即 MC MA BC 4 AC 所以由雙曲線的定義知 M點軌跡是以A C為焦點的雙曲線的左支 且a 2 c 3 所以b2 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時 準確理解雙曲線的定義 才能保證解題的正確性 當 PF1 PF2 2a0 即 PF1 PF2 2a 0 2a F1F2 時 P點的軌跡是雙曲線 其中取正號時為雙曲線的右支 取負號時為雙曲線的左支 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練如圖所示 已知定圓F1 x 5 2 y2 1 定圓F2 x 5 2 y2 42 動圓M與定圓F1 F2都外切 求動圓圓心M的軌跡方程 解圓F1 x 5 2 y2 1 圓心F1 5 0 半徑r1 1 圓F2 x 5 2 y2 42 圓心F2 5 0 半徑r2 4 設(shè)動圓M的半徑為R 則有 MF1 R 1 MF2 R 4 MF2 MF1 3 10 F1F2 12345 解析 由雙曲線的標準方程可知 a2 10 b2 2 于是有c2 a2 b2 12 則2c 4 答案 D 12345 2 已知雙曲線標準方程中 a 5 c 7 則該雙曲線的標準方程為 答案 C 12345 答案 1 2 12345 4 P是雙曲線x2 y2 16的左支上一點 F1 F2分別是左 右焦點 則 PF1 PF2 所以a2 16 2a 8 因為P點在雙曲線左支上 所以 PF1 PF2 8 答案 8 12345 解因為雙曲線的焦點位置不確定 所以設(shè)雙曲線方程為mx2 ny2 1 mn 0 因為P1 P2在雙曲線上 所以有