第1課時歸納推理 歸納推理 做一做1 已知n是正整數 則當n 1 2 3 4 時 M 由此可推測當n 1時 M是一個整數 這個整數從最高位開始 連續(xù)有個 最后一位是 解析 當n 1 2 3 4 時 M 3 23 223 2223 因此推測當n 1時 M是一個整數 這個整數從最高位開始 連續(xù)有n 1個2 最后一位是3 答案 3232232223n 123 做一做2 如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子 若按這種規(guī)律排列下去 那么第36顆珠子的顏色是 A 白色B 黑色C 白色的可能性大D 黑色的可能性大解析 由題圖知 這串珠子的排列規(guī)律是每5個一組 前3個是白色珠子 后2個是黑色珠子 呈周期性排列 而36 5 7 1 即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子 其顏色與第一顆珠子的顏色相同 故它的顏色一定是白色 答案 A 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 統(tǒng)計學中 從總體中抽取樣本 然后用樣本估計總體 這種估計屬于歸納推理 2 歸納推理是根據部分已知的特殊現象推斷未知的一般現象 3 歸納推理是由部分到整體 由一般到特殊的推理 4 歸納推理得出的結果一定不正確 5 歸納推理分為完全歸納推理與不完全歸納推理 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 探究四 等式中的歸納推理問題 例1 已知下列等式成立 13 1 13 23 9 13 23 33 36 13 23 33 43 100 試根據以上幾個等式 歸納出一個一般性結論 用等式表示 思路分析 分析給出的各個等式左邊的項數 各項的次數以及底數的取值特點 分析等號右邊的結果與項數的關系 從而寫出一般性的結論 解 從給出的各個等式可以看出 第1個等式左邊有1項 是13 右邊為1 等于12 第2個等式左邊有2項 是13 23 右邊為9 等于 1 2 2 第3個等式左邊有3項 是13 23 33 右邊為36 等于 1 2 3 2 第4個等式左邊有4項 是13 23 33 43 右邊為100 等于 1 2 3 4 2 由此可以歸納得出一般性的結論為13 23 33 n3 1 2 3 n 2 n N 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟給出幾個等式歸納其一般性結論時 要重點觀察分析所給出的等式中項數 次數以及字母的系數等方面的變化規(guī)律 發(fā)現它們與自然數n的關系 從而寫出一般性結論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練1觀察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 這些等式反映了自然數間的某種規(guī)律 設n表示正整數 則可用關于n的等式表示為 解析 由已知 得32 12 2 4 42 22 3 4 52 32 4 4 62 42 5 4 猜想 n 2 2 n2 4 n 1 答案 n 2 2 n2 4n 4 探究一 探究二 探究三 探究四 不等式中的歸納推理問題 例2 觀察下列不等式 思路分析 觀察給出的不等式發(fā)現 左側括號內是連續(xù)奇數的倒數之和 右側括號內是連續(xù)偶數的倒數之和 而另一個數與項數有關 據此可寫出一般性結論 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟給出幾個不等式歸納其一般性結論時 要重點觀察分析所給出的不等式中項數 次數以及字母的系數等方面的變化規(guī)律 發(fā)現它們與自然數n的關系 從而寫出一般性結論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練2觀察下列不等式 log32 log342 則logn n 1 logn n 1 2 所以logn n 1 0 logn n 1 0 探究一 探究二 探究三 探究四 圖形中的歸納推理問題 例3 有兩種顏色的正六邊形地面磚 按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案 則第六個圖案中灰色正六邊形的個數是 A 26B 31C 32D 36思路分析 分析給出的3個圖案中灰色正六邊形的個數 猜測一般結論 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 法一 灰色正六邊形個數如表 由表可以看出灰色正六邊形的個數依次組成一個以6為首項 以5為公差的等差數列 所以第六個圖案中灰色正六邊形的個數是6 5 6 1 31 法二 由圖案的排列規(guī)律可知 除第一塊白色正六邊形需6個灰色正六邊形圍繞 圖案1 外 每增加一塊白色正六邊形 只需增加5塊灰色正六邊形 每兩塊相鄰的白色正六邊形之間有一塊 公共 的灰色正六邊形 故第六個圖案中灰色正六邊形的個數為6 5 6 1 31 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟解決圖形形式的歸納推理問題 關鍵是認真分析給出的圖形的各方面的特點 例如數量規(guī)律 排列規(guī)律 結構規(guī)律等 由此推測出一般結論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練3觀察下圖中的圖形規(guī)律 在右下角的空格內畫上合適的圖形為 探究一 探究二 探究三 探究四 數列中的歸納推理問題 例4 已知數列 an 的前n項和為Sn 且a1 2 nan 1 Sn n n 1 試歸納猜想數列 an 的通項公式 思路分析 利用a1的值和公式nan 1 Sn n n 1 逐步求得a2 a3 a4的值 然后歸納得到數列 an 的通項公式 解 由于a1 2 且nan 1 Sn n n 1 令n 1 得a2 S1 1 2 a1 2 2 2 4 令n 2 得2a3 S2 2 3 a1 a2 6 2 4 6 12 于是a3 6 令n 3 得3a4 S3 3 4 a1 a2 a3 12 2 4 6 12 24 于是a4 8 由此可以歸納得到數列 an 的通項公式為an 2n n N 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟在數列問題中 常常用歸納推理來求數列的通項公式與前n項和公式 其一般步驟是 1 根據給出的第1項 或其他幾項 的值 利用遞推關系式求出數列的前幾項或前幾項和 2 觀察數列的前幾項或前幾項和的結果 從中尋找與項數n的關系 3 寫出數列的通項公式或前n項和公式 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓練4已知在數列 an 中 a1 1 且Sn Sn 1 2S1成等差數列 Sn表示數列 an 的前n項和 則S2 S3 S4分別為 由此猜想Sn 1 根據給出的數塔猜測123456 9 7等于 1 9 2 1112 9 3 111123 9 4 11111234 9 5 1111112345 9 6 111111A 1111110B 1111111C 1111112D 1111113解析 由數塔呈現的規(guī)律知 結果是各位都是1的7位數 答案 B 2 如圖 在所給的四個選項中 最適合填入問號處 使之呈現一定的規(guī)律性的為 解析 觀察第一組中的三個圖 可知每一個黑色方塊都從右向左循環(huán)移動 每次向左移動一格 由第二組的前兩個圖 可知選A 答案 A 解析 由已知不等式可猜測答案 C4 觀察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此規(guī)律 第n個等式可為 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1