5離散型隨機(jī)變量的均值與方差 一 二 一 離散型隨機(jī)變量的均值 數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為a1 a2 ar 取ai的概率為pi i 1 2 r 即X的分布列為P X ai pi i 1 2 r 定義X的均值為a1P X a1 a2P X a2 arP X ar a1p1 a2p2 arpr 即隨機(jī)變量X的取值ai乘上取值為ai的概率P X ai 再求和 X的均值也稱作X的數(shù)學(xué)期望 簡稱期望 它是一個數(shù) 記為EX 即EX a1p1 a2p2 arpr 均值EX刻畫的是X取值的 中心位置 這是隨機(jī)變量X的一個重要特征 一 二 名師點撥隨機(jī)變量的分布相同 則它們的均值一定相同 有相同均值的兩個分布未必相同 兩個不同的分布也可以有相同的均值 從上面三個方面表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律 從而也決定了隨機(jī)變量的均值 而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的 中心位置 這一重要特征 并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì) 一 二 一 二 二 離散型隨機(jī)變量的方差一般地 設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量 我們用E X EX 2來衡量X與EX的平均偏離程度 E X EX 2是 X EX 2的期望 并稱之為隨機(jī)變量X的方差 記為DX 方差越小 則隨機(jī)變量的取值就越集中在其均值周圍 反之 方差越大 則隨機(jī)變量的取值就越分散 名師點撥1 DX與EX都是實數(shù) 由X的概率分布唯一確定 2 隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量X的取值的穩(wěn)定與波動 集中與離散的程度 DX越小 穩(wěn)定性越高 波動越小 顯然DX 0 一 二 一 二 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 均值就是算術(shù)平均數(shù) 與概率無關(guān) 2 隨機(jī)變量的均值是常數(shù) 樣本的平均值是隨機(jī)變量 它不確定 3 隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度 方差越小 則偏離均值的平均程度越小 4 均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況 因此它們是一回事 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè) 現(xiàn)聘請兩位專家 獨立地對每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評審 假設(shè)評審結(jié)果為 支持 或 不支持 的概率都是若某人獲得兩個 支持 則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助 若只獲得一個 支持 則給予5萬元的資助 若未獲得 支持 則不予資助 令 表示該公司的資助總額 1 寫出 的分布列 2 求均值E 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析兩位專家給三個方案做評審 則結(jié)果為支持的個數(shù)X可能為0 1 2 3 4 5 6 本題可視為進(jìn)行6次獨立重復(fù)試驗 獲得支持即為試驗成功 則獲得支持的個數(shù)X服從n 6 p 的二項分布 由題意知X 0對應(yīng) 0 X 1對應(yīng) 5 X 2對應(yīng) 10 X 3對應(yīng) 15 X 4對應(yīng) 20 X 5對應(yīng) 25 X 6對應(yīng) 30 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟 1 理解X的意義 寫出X可能取的全部值 2 求X取每個值的概率 3 寫出X的分布列 有時可以略 4 由均值的定義求EX 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 袋中有20個大小 形狀 質(zhì)地相同的球 其中記上0號的有10個 記上n號的有n個 n 1 2 3 4 現(xiàn)從袋中任取一球 表示所取球的標(biāo)號 求 的分布列 均值和方差 分析先列出隨機(jī)變量的分布列 然后根據(jù)方差的計算公式進(jìn)行計算 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟求離散型隨機(jī)變量的方差的一般步驟 1 理解X的意義 寫出X可能取的全部值 2 求X取每個值的概率 3 寫出X的分布列 有時題中已給出 有時可以省略 4 由均值的定義求EX 5 由方差的定義求DX 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 為回饋顧客 某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵 規(guī)定 每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球 球的大小 形狀 質(zhì)地都相同 的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球 球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 1 若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元 其余3個均為10元 求 顧客所獲的獎勵額為60元的概率 顧客所獲的獎勵額的分布列及均值 2 商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元 并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成 或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡 請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計 并說明理由 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 根據(jù)商場的預(yù)算 每個顧客的平均獎勵額為60元 所以 先尋找均值為60元的可能方案 對于面值由10元和50元組成的情況 如果選擇 10 10 10 50 的方案 因為60元是面值之和的最大值 所以均值不可能為60元 如果選擇 50 50 50 10 的方案 因為60元是面值之和的最小值 所以均值也不可能為60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 記為方案1 對于面值由20元和40元組成的情況 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 記為方案2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用均值與方差解決實際問題的方法 1 對實際問題進(jìn)行具體分析 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 并將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來 2 依據(jù)隨機(jī)變量取每一個值時所表示的具體事件 求出其相應(yīng)的概率 3 依據(jù)均值與方差的定義 公式求出相應(yīng)的均值與方差值 4 依據(jù)均值與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3有甲 乙兩種建筑材料 從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度 收集數(shù)據(jù)如下 其中X甲 X乙分別表示甲 乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度 在使用時要求抗拉強(qiáng)度不低于120 試比較甲 乙兩種建筑材料的質(zhì)量狀況 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解EX甲 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 EX乙 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 DX甲 110 125 2 0 1 120 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 135 125 2 0 2 50 DX乙 100 125 2 0 1 115 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 145 125 2 0 2 165 由此可見 EX甲 EX乙 DX甲 DX乙 故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等 且甲比乙穩(wěn)定 所以說甲材料的質(zhì)量更好 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因沒有明確隨機(jī)變量X的取值意義而致誤 典例 某人進(jìn)行一項試驗 若試驗成功 則停止試驗 若試驗失敗 則再重新試驗一次 若試驗3次失敗 則放棄試驗 若此人每次試驗成功的概率均為 求此人試驗次數(shù)X的均值 易錯分析求解均值 關(guān)鍵幾步是求解當(dāng)變量X取某些值時 所對應(yīng)的概率 若此處求錯 則整個問題就會出錯 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得容易出錯的主要原因是沒有明確隨機(jī)變量X的取值意義 X 1表示一次試驗就成功 X 2表示第一次失敗 第二次成功 因為試驗最多進(jìn)行3次 所以X 3表示前兩次失敗 第三次可能成功也可能失敗 所以 因此 在求隨機(jī)變量取各值的概率時 務(wù)必理解各取值的實際意義以免出錯 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練下午第三節(jié)體育課進(jìn)行籃球達(dá)標(biāo)測試 規(guī)定 每位同學(xué)有5次投籃機(jī)會 若投中3次 則達(dá)標(biāo) 否則 不達(dá)標(biāo) 為了節(jié)約時間 同時規(guī)定 若投籃不到5次就達(dá)標(biāo) 則停止投籃 若前3次均未投中 不能達(dá)標(biāo) 停止投籃 若前3次投中一次 而第4次未中 也不能達(dá)標(biāo) 停止投籃 已知某同學(xué)投籃的命中率為 且每次投籃互不影響 設(shè)X為測試中這位同學(xué)投籃的次數(shù) 則EX 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 2 3 4 5 1 已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下 且EX 6 3 則a的值為 解析由分布列性質(zhì)知 0 5 0 1 b 1 所以b 0 4 所以EX 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 所以a 7 答案C 1 2 3 4 5 2 馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量 的概率分布列如下表 請小牛同學(xué)計算 的均值 盡管 處完全無法看清 且兩個 處字跡模糊 但能肯定這兩個 處的數(shù)值相同 據(jù)此 小牛給出了正確答案E A 1B 4C 3D 2解析 設(shè) 處為x 處為y 則由分布列的性質(zhì)得2x y 1 所以均值E 1 P 1 2 P 2 3 P 3 4x 2y 2 答案D 1 2 3 4 5 答案 A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 在添加劑的搭配使用中 為了找到最佳的配方方案 需要對各種不同的搭配方式作比較 在試制某種牙膏新品種時 需要選用不同的添加劑 現(xiàn)有芳香度分別為0 1 2 3 4 5的六種添加劑可供選用 根據(jù)試驗設(shè)計學(xué)原理 通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗 用X表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和 1 寫出X的分布列 2 求X的均值EX