第1課時(shí)歸納推理 歸納推理 做一做1 已知n是正整數(shù) 則當(dāng)n 1 2 3 4 時(shí) M 由此可推測(cè)當(dāng)n 1時(shí) M是一個(gè)整數(shù) 這個(gè)整數(shù)從最高位開(kāi)始 連續(xù)有個(gè) 最后一位是 解析 當(dāng)n 1 2 3 4 時(shí) M 3 23 223 2223 因此推測(cè)當(dāng)n 1時(shí) M是一個(gè)整數(shù) 這個(gè)整數(shù)從最高位開(kāi)始 連續(xù)有n 1個(gè)2 最后一位是3 答案 3232232223n 123 做一做2 如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子 若按這種規(guī)律排列下去 那么第36顆珠子的顏色是 A 白色B 黑色C 白色的可能性大D 黑色的可能性大解析 由題圖知 這串珠子的排列規(guī)律是每5個(gè)一組 前3個(gè)是白色珠子 后2個(gè)是黑色珠子 呈周期性排列 而36 5 7 1 即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子 其顏色與第一顆珠子的顏色相同 故它的顏色一定是白色 答案 A 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 統(tǒng)計(jì)學(xué)中 從總體中抽取樣本 然后用樣本估計(jì)總體 這種估計(jì)屬于歸納推理 2 歸納推理是根據(jù)部分已知的特殊現(xiàn)象推斷未知的一般現(xiàn)象 3 歸納推理是由部分到整體 由一般到特殊的推理 4 歸納推理得出的結(jié)果一定不正確 5 歸納推理分為完全歸納推理與不完全歸納推理 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 探究四 等式中的歸納推理問(wèn)題 例1 已知下列等式成立 13 1 13 23 9 13 23 33 36 13 23 33 43 100 試根據(jù)以上幾個(gè)等式 歸納出一個(gè)一般性結(jié)論 用等式表示 思路分析 分析給出的各個(gè)等式左邊的項(xiàng)數(shù) 各項(xiàng)的次數(shù)以及底數(shù)的取值特點(diǎn) 分析等號(hào)右邊的結(jié)果與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系 從而寫(xiě)出一般性的結(jié)論 解 從給出的各個(gè)等式可以看出 第1個(gè)等式左邊有1項(xiàng) 是13 右邊為1 等于12 第2個(gè)等式左邊有2項(xiàng) 是13 23 右邊為9 等于 1 2 2 第3個(gè)等式左邊有3項(xiàng) 是13 23 33 右邊為36 等于 1 2 3 2 第4個(gè)等式左邊有4項(xiàng) 是13 23 33 43 右邊為100 等于 1 2 3 4 2 由此可以歸納得出一般性的結(jié)論為13 23 33 n3 1 2 3 n 2 n N 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟給出幾個(gè)等式歸納其一般性結(jié)論時(shí) 要重點(diǎn)觀察分析所給出的等式中項(xiàng)數(shù) 次數(shù)以及字母的系數(shù)等方面的變化規(guī)律 發(fā)現(xiàn)它們與自然數(shù)n的關(guān)系 從而寫(xiě)出一般性結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練1觀察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律 設(shè)n表示正整數(shù) 則可用關(guān)于n的等式表示為 解析 由已知 得32 12 2 4 42 22 3 4 52 32 4 4 62 42 5 4 猜想 n 2 2 n2 4 n 1 答案 n 2 2 n2 4n 4 探究一 探究二 探究三 探究四 不等式中的歸納推理問(wèn)題 例2 觀察下列不等式 思路分析 觀察給出的不等式發(fā)現(xiàn) 左側(cè)括號(hào)內(nèi)是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)之和 右側(cè)括號(hào)內(nèi)是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)之和 而另一個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)有關(guān) 據(jù)此可寫(xiě)出一般性結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟給出幾個(gè)不等式歸納其一般性結(jié)論時(shí) 要重點(diǎn)觀察分析所給出的不等式中項(xiàng)數(shù) 次數(shù)以及字母的系數(shù)等方面的變化規(guī)律 發(fā)現(xiàn)它們與自然數(shù)n的關(guān)系 從而寫(xiě)出一般性結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練2觀察下列不等式 log32 log342 則logn n 1 logn n 1 2 所以logn n 1 0 logn n 1 0 探究一 探究二 探究三 探究四 圖形中的歸納推理問(wèn)題 例3 有兩種顏色的正六邊形地面磚 按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案 則第六個(gè)圖案中灰色正六邊形的個(gè)數(shù)是 A 26B 31C 32D 36思路分析 分析給出的3個(gè)圖案中灰色正六邊形的個(gè)數(shù) 猜測(cè)一般結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 法一 灰色正六邊形個(gè)數(shù)如表 由表可以看出灰色正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng) 以5為公差的等差數(shù)列 所以第六個(gè)圖案中灰色正六邊形的個(gè)數(shù)是6 5 6 1 31 法二 由圖案的排列規(guī)律可知 除第一塊白色正六邊形需6個(gè)灰色正六邊形圍繞 圖案1 外 每增加一塊白色正六邊形 只需增加5塊灰色正六邊形 每?jī)蓧K相鄰的白色正六邊形之間有一塊 公共 的灰色正六邊形 故第六個(gè)圖案中灰色正六邊形的個(gè)數(shù)為6 5 6 1 31 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟解決圖形形式的歸納推理問(wèn)題 關(guān)鍵是認(rèn)真分析給出的圖形的各方面的特點(diǎn) 例如數(shù)量規(guī)律 排列規(guī)律 結(jié)構(gòu)規(guī)律等 由此推測(cè)出一般結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練3觀察下圖中的圖形規(guī)律 在右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為 探究一 探究二 探究三 探究四 數(shù)列中的歸納推理問(wèn)題 例4 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 2 nan 1 Sn n n 1 試歸納猜想數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 思路分析 利用a1的值和公式nan 1 Sn n n 1 逐步求得a2 a3 a4的值 然后歸納得到數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 由于a1 2 且nan 1 Sn n n 1 令n 1 得a2 S1 1 2 a1 2 2 2 4 令n 2 得2a3 S2 2 3 a1 a2 6 2 4 6 12 于是a3 6 令n 3 得3a4 S3 3 4 a1 a2 a3 12 2 4 6 12 24 于是a4 8 由此可以歸納得到數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n n N 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟在數(shù)列問(wèn)題中 常常用歸納推理來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 其一般步驟是 1 根據(jù)給出的第1項(xiàng) 或其他幾項(xiàng) 的值 利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)和 2 觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)和的結(jié)果 從中尋找與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系 3 寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練4已知在數(shù)列 an 中 a1 1 且Sn Sn 1 2S1成等差數(shù)列 Sn表示數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則S2 S3 S4分別為 由此猜想Sn 1 根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456 9 7等于 1 9 2 1112 9 3 111123 9 4 11111234 9 5 1111112345 9 6 111111A 1111110B 1111111C 1111112D 1111113解析 由數(shù)塔呈現(xiàn)的規(guī)律知 結(jié)果是各位都是1的7位數(shù) 答案 B 2 如圖 在所給的四個(gè)選項(xiàng)中 最適合填入問(wèn)號(hào)處 使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性的為 解析 觀察第一組中的三個(gè)圖 可知每一個(gè)黑色方塊都從右向左循環(huán)移動(dòng) 每次向左移動(dòng)一格 由第二組的前兩個(gè)圖 可知選A 答案 A 解析 由已知不等式可猜測(cè)答案 C4 觀察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1