第三章導數(shù)及其應用 3 2導數(shù)的應用 高考理數(shù) 考點一導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性設函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)可導 f x 是f x 的導數(shù) 則 注 1 f x 在 a b 內(nèi)可導為此規(guī)律成立的一個前提條件 2 對于在 a b 內(nèi)可導的函數(shù)f x 來說 f x 0是f x 在 a b 上為遞增函數(shù)的充分不必要條件 f x 0 即并不是在定義域中的任意一點處都滿足f x 0 知識清單 考點二導數(shù)與函數(shù)的極 最 值1 函數(shù)的極值與導數(shù) 域內(nèi)可能有多個極大值和極小值 2 極大值與極小值沒有必然關(guān)系 極大值可能比極小值還小 3 導數(shù)等于零的點不一定是極值點 例如 f x x3 f x 3x2 當x 0時 f 0 0 但是x 0不是函數(shù)的極值點 4 可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)必為零 2 函數(shù)的最大值與最小值 1 函數(shù)的最大值與最小值 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 在 a b 上必有最大值與最小值 但在開區(qū)間 a b 內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f x 不一定有最大值與最小值 注 1 在函數(shù)的整個定義域內(nèi) 函數(shù)的極值不一定唯一 在整個定義 2 設函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導 求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 i 求f x 在 a b 內(nèi)的 極值 ii 將f x 的各 極值與 f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 考點三生活中的優(yōu)化問題1 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為 優(yōu)化問題 導數(shù)在這一類問題中有著重要的應用 它是求函數(shù)最大 小 值的有力工具 2 解決優(yōu)化問題的基本思路 方法一 方法二 求函數(shù)f x 的定義域 求導函數(shù)f x 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的兩個方法 方法技巧 在定義域內(nèi)解不等式f x 0和f x 0 若不等式中帶有參數(shù) 則一般需對參數(shù)進行分類討論 確定函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 例1 2017天津紅橋一模 19 1 已知函數(shù)f x x 2lnx a R 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 解析函數(shù)f x x 2lnx的定義域為 0 f x 1 令f x 0 得x2 2x a 0 其判別式 4 4a 當 0 即a 1時 x2 2x a 0 f x 0 此時f x 在 0 上單調(diào)遞增 當 0 即a1 若a 0 則x1 0 則x 0 x2 時 f x 0 即f x 在 0 x2 上單調(diào)遞減 在 x2 上單調(diào)遞增 若a 0 則x1 0 則x 0 x1 時 f x 0 x x1 x2 時 f x 0 即f x 在 0 x1 上單調(diào)遞增 在 x1 x2 上單調(diào)遞減 在 x2 上單調(diào)遞增 綜上所述 當a 0時 函數(shù)f x 在 0 x2 上單調(diào)遞減 在 x2 上單調(diào)遞增 當0 a 1時 函數(shù)f x 在 0 x1 上單調(diào)遞增 在 x1 x2 上單調(diào)遞減 在 x2 上單調(diào)遞增 當a 1時 函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 1 可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào) 實際上就是在該區(qū)間上f x 0 或f x 0 f x 在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 恒成立 然后分離參數(shù) 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題 從而獲得參數(shù)的取值范圍 2 可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 實際上就是f x 0 或f x 0 f x 在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 在該區(qū)間上存在解集 這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題 3 若已知f x 在區(qū)間I上的單調(diào)性 區(qū)間I中含有參數(shù)時 可先求出f x 的單調(diào)區(qū)間 令I是其單調(diào)區(qū)間的子集 從而可求出參數(shù)的取值范圍 利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 例2 2015重慶 20 12分 設函數(shù)f x a R 1 若f x 在x 0處取得極值 確定a的值 并求此時曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 若f x 在 3 上為減函數(shù) 求a的取值范圍 解析 1 對f x 求導得f x 因為f x 在x 0處取得極值 所以f 0 0 即a 0 當a 0時 f x f x 故f 1 f 1 從而f x 在點 1 f 1 處的切線方程為y x 1 化簡得3x ey 0 2 由 1 知f x 令g x 3x2 6 a x a 由g x 0 解得x1 x2 當x0 即f x 0 故f x 為增函數(shù) 當x x2時 g x 0 即f x 0 故f x 為減函數(shù) 由f x 在 3 上為減函數(shù) 知x2 3 解得a 故a的取值范圍為 1 解決函數(shù)極值問題的一般思路 利用導數(shù)研究函數(shù)的極 最 值 2 函數(shù)的最大值 最小值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出來的 函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的 函數(shù)的極值可以有多個 但最大 小 值只有一個 極值只能在區(qū)間內(nèi)一點處取得 最值可以在端點處取得 有極值未必有最值 有最值也未必有極值 極值可能成為最值 例3 2017江西南昌高三第二次模擬 21 已知函數(shù)f x xln x 1 ax2 bx a b R a b為常數(shù) e為自然對數(shù)的底數(shù) 1 當a 1時 討論函數(shù)f x 在區(qū)間上極值點的個數(shù) 2 當a 1 b e 2時 對任意的x 1 都有f x k成立 求正實數(shù)k的取值范圍 解析 1 當a 1時 f x ln x 1 2x b 記g x f x b 則g x 2 令g x 0 x 當x 時 g x 0 所以當x 時 g x 取得極小值6 ln2 又g e 2 g e 1 2e 4 f x 0 g x b 所以 i 當 b 6 ln2 即b ln2 6時 f x 0 函數(shù)f x 在區(qū)間上無極值點 ii 當6 ln2 b e 2 即 e 2 b ln2 6時 f x 0有兩個不同的解 函數(shù)f x 在區(qū)間上有兩個極值點 iii 當e 2 b 2e 4 即 2e 4 b e 2時 f x 0有一個解 函數(shù)f x 在區(qū)間上有一個極值點 iv 當 b 2e 4 即b 2e 4時 f x 0 函數(shù)f x 在區(qū)間上無極值點 2 當a 1 b e 2時 對任意的x 1 都有f x k 成立 即xln x 1 x2 e 2 x0 當x 2時 h x 2時 x 0 所以當x 2時 x 取得最小值 2 所以只需e2 即正實數(shù)k的取值范圍是 2 1 利用導數(shù)證明不等式若證明f x g x x a b 則可以通過構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 證明F x 0 如果證明F x 在 a b 上的最大值小于0 那么即可證明f x g x x a b 2 利用導數(shù)解決不等式的恒成立問題 恒成立 與 存在性 問題可看作一類問題 一般都可通過求相關(guān)函數(shù)的最值來解決 如 當f x 在x D上存在最大值和最小值時 若f x g a 對于x D恒成立 應求f x 在x D上的最小值 將原條件轉(zhuǎn)化為g a f x min 若f x g a 對于x D恒成立 應求f x 在x D上的最大值 將原條件轉(zhuǎn)化為g a f x max 若存在x D 使得f x g a 成立 則應求f x 在x 利用導數(shù)解決不等式問題的常見類型及解題策略 D上的最大值 將原條件轉(zhuǎn)化為g a f x max 若存在x D 使得f x g a 成立 則應求f x 在x D上的最小值 將原條件轉(zhuǎn)化為g a f x min 例4 2017課標全國 21 12分 已知函數(shù)f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 2 設m為整數(shù) 且對于任意正整數(shù)n m 求m的最小值 解題導引 解析本題考查導數(shù)的綜合應用 1 f x 的定義域為 0 若a 0 因為f aln20 由f x 1 知 當x 0 a 時 f x 0 所以f x 在 0 a 上單調(diào)遞減 在 a 上單調(diào)遞增 故x a是f x 在 0 的唯一最小值點 由于f 1 0 所以當且僅當a 1時 f x 0 故a 1 2 由 1 知當x 1 時 x 1 lnx 0 令x 1 得ln 從而ln ln ln 1 1 故 2 所以m的最小值為3 一題多解f x 1 x 0 當a 0時 f x 0 而f 1 0 不合題意 a 0 f x 在 0 a 上單調(diào)遞減 在 a 上單調(diào)遞增 又f x 0 f a 0 即a 1 alna 0 記h x x 1 xlnx 則h x 1 lnx 1 lnx h x 在 0 1 上單調(diào)遞增 在 1 上單調(diào)遞減 h x h 1 0 即當且僅當x 1時 h x 0 當且僅當a 1時 f x 0成立 a 1 利用導數(shù)研究函數(shù)零點的方法方法一 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值 2 根據(jù)函數(shù)f x 的性質(zhì)作出圖象 3 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 方法二 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值 2 分類討論 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根 例5 2016課標全國 21 12分 已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2有兩個零點 1 求a的取值范圍 2 設x1 x2是f x 的兩個零點 證明 x1 x2 2 所以當x 1時 g x 1時 g x 0 從而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2 12分