第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 高考文數(shù) 考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 函數(shù)的單調(diào)性對于在 a b 內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f x 若f x 在 a b 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 則f x 0 f x 為增函數(shù) 區(qū)間 a b 為函數(shù)f x 的增區(qū)間 f x 0 f x 為減函數(shù) 區(qū)間 a b 為函數(shù)f x 的減區(qū)間 2 函數(shù)的極值 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當(dāng)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí) i 如果在x0的左側(cè)附近f x 0 右側(cè)附近f x 0 那么f x0 是極小值 3 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 知識清單 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 i 求f x ii 求方程f x 0的根 iii 檢查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符號 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個(gè)根處取得極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取得極小值 3 函數(shù)的最值 1 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小值 f b 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 2 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 求f x 在 a b 上的最大值和最 小值的步驟如下 i 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 ii 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個(gè)是最大值 最小的一個(gè)是最小值 3 如果函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 那么函數(shù)y f x 在 a b 上必有最大值和最小值 函數(shù)的最大值和最小值一定產(chǎn)生在極值點(diǎn)或閉區(qū)間的端點(diǎn)處 知識拓展1 f x 0是f x 在 a b 上為增函數(shù)的充分不必要條件 同理 f x 0是f x 在 a b 上為減函數(shù)的充分不必要條件 例如 f x x3在R上單調(diào)遞增 但f 0 0 2 對可導(dǎo)函數(shù)而言 極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為0 但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 例如 f x x3 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 但x 0不是極值點(diǎn) 因此判斷極值一般用定義法 3 極值與最值的區(qū)別極值是局部概念 是針對x x0附近的值而言的 最值是整體概念 是針對整個(gè)定義域而言的 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)單調(diào)性的基本步驟 確定函數(shù)f x 的定義域 求導(dǎo)數(shù)f x 由f x 0 或f x 0時(shí) f x 在相應(yīng)區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù) 當(dāng)f x 0時(shí) f x 在相應(yīng)區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù) 還可以通過列表寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 方法技巧 例1 2016課標(biāo)全國 21 12分 已知函數(shù)f x x 2 ex a x 1 2 1 討論f x 的單調(diào)性 2 若f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 求a的取值范圍 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 設(shè)a 0 則當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 所以f x 在 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 2分 ii 設(shè)a 則ln 2a 0 當(dāng)x ln 2a 1 時(shí) f x 1 故當(dāng)x 1 ln 2a 時(shí) f x 0 當(dāng)x 1 ln 2a 時(shí) f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 上單調(diào)遞增 在 1 ln 2a 上單調(diào)遞減 6分 2 i 設(shè)a 0 則由 1 知 f x 在 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 又f 1 e f 2 a 取b滿足b b 2 a b 1 2 a 0 所以f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 8分 ii 設(shè)a 0 則f x x 2 ex 所以f x 只有一個(gè)零點(diǎn) 9分 iii 設(shè)a 0 若a 則由 1 知 f x 在 1 上單調(diào)遞增 又當(dāng)x 1時(shí) f x 0 故f x 不存在兩個(gè)零點(diǎn) 10分 若a 則由 1 知 f x 在 1 ln 2a 上單調(diào)遞減 在 ln 2a 上單調(diào)遞增 又當(dāng)x 1時(shí) f x 0 故f x 不存在兩個(gè)零點(diǎn) 11分 綜上 a的取值范圍為 0 12分 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1 解決函數(shù)極值問題的一般思路 例2 2015課標(biāo) 21 12分 已知函數(shù)f x lnx a 1 x 1 討論f x 的單調(diào)性 2 當(dāng)f x 有最大值 且最大值大于2a 2時(shí) 求a的取值范圍 解題導(dǎo)引 1 求定義域及f x 對a分類討論 判斷f x 的符號結(jié)論 2 用第 1 問的結(jié)論 對a分類討論a 0時(shí) 求出f x 的最大值為ff 2a 2等價(jià)于lna a 1 0構(gòu)造函數(shù)g a lna a 1利用g a 的單調(diào)性求出a的取值范圍 解析 1 f x 的定義域?yàn)?0 f x a 若a 0 則f x 0 所以f x 在 0 上單調(diào)遞增 若a 0 則當(dāng)x 時(shí) f x 0 當(dāng)x 時(shí) f x 0時(shí) f x 在x 處取得最大值 最大值為f ln a lna a 1 因此f 2a 2等價(jià)于lna a 1 0 令g a lna a 1 則g a 在 0 上單調(diào)遞增 g 1 0 于是 當(dāng)01時(shí) g a 0 因此 a的取值范圍是 0 1 例3 2016山東 20 13分 設(shè)f x xlnx ax2 2a 1 x a R 1 令g x f x 求g x 的單調(diào)區(qū)間 2 已知f x 在x 1處取得極大值 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解題導(dǎo)引 1 求f x 從而求出g x 求出g x 對a分類討論 確定g x 的符號結(jié)論 2 利用 1 的結(jié)論知f x 的單調(diào)性對a分類討論 確定f x 在各個(gè)區(qū)間的符號利用f x 在x 1處取得極大值求a的取值范圍 解析 1 由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 則g x 2a 當(dāng)a 0時(shí) x 0 時(shí) g x 0 函數(shù)g x 單調(diào)遞增 當(dāng)a 0時(shí) x 時(shí) g x 0 函數(shù)g x 單調(diào)遞增 x 時(shí) 函數(shù)g x 單調(diào)遞減 所以當(dāng)a 0時(shí) g x 的單調(diào)增區(qū)間為 0 當(dāng)a 0時(shí) g x 的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 2 由 1 知 f 1 0 當(dāng)a 0時(shí) f x 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 0 f x 單調(diào)遞增 所以f x 在x 1處取得極小值 不合題意 當(dāng)01 由 1 知f x 在內(nèi)單調(diào)遞增 可得當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 0 所以f x 在 0 1 內(nèi)單調(diào)遞減 在內(nèi)單調(diào)遞增 所以f x 在x 1處取得極小值 不合題意 當(dāng)a 時(shí) 1 f x 在 0 1 內(nèi)單調(diào)遞增 在 1 內(nèi)單調(diào)遞減 所以當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 f x 單調(diào)遞減 不合題意 當(dāng)a 時(shí) 00 f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 時(shí) f x