第二章函數(shù) 高考文數(shù) 考點一指數(shù)冪的運算1 指數(shù)冪的概念 1 根式如果一個數(shù)的n次方等于a n 1且n N 那么這個數(shù)叫做a的n次方根 也就是說 若xn a 則x叫做a的n次方根 其中n 1且n N 式子叫做根式 這里n叫做根指數(shù) a叫做被開方數(shù) 2 根式的性質(zhì) i 當(dāng)n為奇數(shù)時 正數(shù)的n次方根是一個正數(shù) 負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù) 這時 a的n次方根用符號表示 2 4指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 知識清單 根可以合寫為 a 0 iii n a 注意a必須使有意義 iv 當(dāng)n為奇數(shù)時 a 當(dāng)n為偶數(shù)時 a v 負(fù)數(shù)沒有偶次方根 vi 零的任何次方根都是零 2 有理指數(shù)冪 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示 i 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n N n 1 ii 當(dāng)n為偶數(shù)時 正數(shù)的n次方根有兩個 它們互為相反數(shù) 這時 正數(shù)的正的n次方根用符號表示 負(fù)的n次方根用符號 表示 正負(fù)兩個n次方 ii 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a 0 m n N n 1 iii 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義 2 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) i aras ar s a 0 r s Q ii ar s ars a 0 r s Q iii ab r arbr a 0 b 0 r Q 考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) 拓展延伸1 單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì) 特別是函數(shù)圖象的無限伸展性 x軸是函數(shù)圖象的漸近線 當(dāng)01時 x y 0 當(dāng)a 1時 a的值越大 圖象越靠近y軸 遞增的速度越快 當(dāng)00且a 1 的圖象 應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點 1 a 0 1 3 熟記指數(shù)函數(shù)y 10 x y 2x y y 在同一坐標(biāo)系中圖象的相對位置 由此掌握指數(shù)函數(shù)圖象的位置與底數(shù)大小的關(guān)系 4 指數(shù)函數(shù)y ax y bx y cx y dx在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示 則0 c d 1 a b 在y軸右側(cè) 圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小 在y軸左側(cè) 圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小 無論是在y軸的左側(cè)還是右側(cè) 底數(shù)按逆時針方向變大 5 指數(shù)函數(shù)y ax與y a 0且a 1 的圖象關(guān)于y軸對稱 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1 對于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象問題 一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手 通過平移 伸縮 對稱變換而得到 2 對于圖象問題的選擇題 可以考慮特值法 3 需特別注意底數(shù)a 1與0b 的圖象如圖所示 則函數(shù)g x ax b的圖象是 C 方法技巧 解題導(dǎo)引由f x 圖象知a 1 1 b 0得g x 為增函數(shù)比較g 0 與0的大小結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象找正確選項 解析由函數(shù)f x 的圖象可知 11 則g x ax b為增函數(shù) 當(dāng)x 0時 g 0 1 b 0 故選C 方法點撥 1 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究 往往利用特殊點法 圖象變換等方法 2 一些指數(shù)方程 指數(shù)型不等式問題的求解 往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域 值域的求法 1 函數(shù)y af x a 0 且a 1 的定義域與y f x 的定義域相同 2 先確定f x 的值域 再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可確定y af x a 0 且a 1 的值域 2 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷形如y af x a 0 且a 1 的函數(shù)的單調(diào)性 若a 1 則函數(shù)y f x 的單調(diào)增 減 區(qū)間即為y af x 的單調(diào)增 減 區(qū)間 若0 a 1 則函數(shù)y f x 的單調(diào)增 減 區(qū)間即為函數(shù)y af x 的單調(diào)減 增 區(qū)間 3 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的最值問題 往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題 例2 2017廣東深圳三校聯(lián)考 18 已知函數(shù)f x a為常數(shù) 且函數(shù)的圖象過點 1 2 1 求a的值 2 若g x 4 x 2 且g x f x 求滿足條件的x的值 解題導(dǎo)引 1 f x 的圖象過定點 1 2 解指數(shù)方程得a的值 2 由g x f x 及 1 得 2 0令 t t 0 換元解關(guān)于t的方程求x的值 解析 1 由已知得 2 解得a 1 2 由 1 知f x 又g x f x 則4 x 2 即 2 0 即 2 0 令 t 則t 0 原方程化為t2 t 2 0 即 t 2 t 1 0 又t 0 故t 2 即 2 解得x 1 故滿足條件的x的值為 1