考點(diǎn)一幾何體的表面積1 柱體 錐體 臺(tái)體的側(cè)面面積就是各側(cè)面面積之和 表面積是各個(gè)面的面積之和 即側(cè)面面積與底面面積之和 2 把柱體 錐體 臺(tái)體的面展開成一個(gè)平面圖形 稱為它的展開圖 它的表面積就是展開圖的面積 3 圓柱的側(cè)面積公式是S柱側(cè) 2 rl 表面積公式是S柱 2 r r l 圓錐的側(cè)面積公式是S錐側(cè) rl 表面積公式是S錐 r r l 圓臺(tái)的側(cè)面積公式是S臺(tái)側(cè) r r l 表面積公式是S臺(tái) r 2 r2 r l rl 4 半徑為R的球的表面積公式為S球 4 R2 知識(shí)清單 考點(diǎn)二幾何體的體積1 長方體的體積公式是V abc 正方體的體積公式是V a3 圓柱的體積公式是V r2h 所有棱柱和圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為V柱 Sh 其中S為底面面積 h為高 2 圓錐的體積公式是V r2h 棱錐的體積公式是V Sh 圓錐和棱錐的體積公式可以統(tǒng)一為 V錐 Sh 其中S為底面面積 h為高 3 圓臺(tái)的體積公式為V r 2 r r r2 h 棱臺(tái)的體積公式為V S S h 圓臺(tái)和棱臺(tái)的體積公式可以統(tǒng)一為V臺(tái) S S h 其中S S分別為上 下底面的面積 h為高 4 半徑為R的球的體積公式為V球 R3 1 求柱 錐 臺(tái)體的表面積就是求它們的側(cè)面積和底面面積之和 對(duì)于圓柱 圓錐 圓臺(tái) 已知上 下底面半徑和母線長可以用表面積公式直接求出 對(duì)于棱柱 棱錐 棱臺(tái)可以直接根據(jù)條件求各個(gè)面的面積 然后求面積之和 2 球的表面積公式是用無限分割的極限思想推導(dǎo)出來的 主要是記憶 掌握公式 3 求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí) 通常將所給幾何體分割或補(bǔ)形成基本的柱 錐 臺(tái)體 先求出這些基本的柱 錐 臺(tái)體的表面積 再通過求和或作差 求幾何體的表面積 幾何體表面積的求解方法 方法技巧 例1 2016課標(biāo)全國 9 5分 如圖 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖 則該多面體的表面積為 B A 18 36B 54 18C 90D 81 解析由三視圖可知 該幾何體的底面是邊長為3的正方形 高為6 側(cè)棱長為3 則該幾何體的表面積S 2 32 2 3 3 2 3 6 54 18 故選B 評(píng)析本題考查了幾何體的三視圖和柱體的表面積 考查了空間想象能力 掌握側(cè)面的形狀是求解的關(guān)鍵 1 割補(bǔ)法求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體 錐體等 或補(bǔ)形成柱體 錐體等 分別求出柱體 錐體等的體積 從而得出幾何體的體積 2 等體積變換法 1 利用三棱錐的 等積性 可以把任意一個(gè)面作為三棱錐的底面 i 求體積時(shí) 可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算 ii 利用 等積性 可求點(diǎn)到面的距離 關(guān)鍵是在面中選取三個(gè)點(diǎn) 與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐 2 此種方法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 在運(yùn)用過程中要充分注意距離之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化 幾何體體積的求解方法 例2 2017山西五校3月聯(lián)考 10 九章算術(shù) 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 書中有如下問題 今有芻甍 下廣三丈 袤四丈 上袤二丈 無廣 高一丈 問 積幾何 其意思為 今有底面為矩形的屋脊柱的楔體 下底面寬3丈 長4丈 上棱長2丈 高一丈 問它的體積是多少 已知1丈為10尺 現(xiàn)將該楔體的三視圖給出 其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈 則該楔體的體積為 A A 5000立方尺B 5500立方尺C 6000立方尺D 6500立方尺 解題導(dǎo)引 解析該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF 取AB的中點(diǎn)G CD的中點(diǎn)H 連接FG GH HF 則該幾何體的體積為四棱錐F GBCH與三棱柱ADE GHF的體積之和 又可以將三棱柱ADE GHF割補(bǔ)成高為EF 底面積為S 3 1 平方丈的一個(gè)直棱柱 故該楔體的體積V 2 2 3 1 5立方丈 5000立方尺 與球有關(guān)的組合體問題 一種是內(nèi)切 一種是外接 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形 明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置 確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系 并作出合適的截面圖 如球內(nèi)切于正方體 切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心 正方體的棱長等于球的直徑 球外接于正方體 正方體的頂點(diǎn)均在球面上 正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑 球與旋轉(zhuǎn)體的組合 通常作它們的軸截面解題 球與多面體的組合 通過多面體的一條側(cè)棱和球心 或 切點(diǎn) 接點(diǎn) 作出截面圖 與球有關(guān)的表面積 體積的求解方法 例3 2017廣東廣州一模 10 九章算術(shù) 中 將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬 將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑 若三棱錐P ABC為鱉臑 PA 平面ABC PA AB 2 AC 4 三棱錐P ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上 則球O的表面積為 C A 8 B 12 C 20 D 24 解題導(dǎo)引 方法點(diǎn)撥幾何體的外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn) 也是近年來高考的熱點(diǎn) 此類問題的解題關(guān)鍵是確定球心的位置 求出球的半徑 構(gòu)造長方體或正方體確定球心是常見的方法 同一個(gè)頂點(diǎn)處三條棱兩兩垂直的四面體 四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐 相對(duì)的棱相等的三棱錐可構(gòu)造成長方體或正方體