第六章數(shù)列 6 2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 高考理數(shù) 考點(diǎn)一等差數(shù)列及其性質(zhì)1 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它相鄰前面一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 通常用字母d表示 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 那么它的通項(xiàng)公式是an a1 n 1 d n N 3 等差中項(xiàng)如果 A 那么A叫做a與b的等差中項(xiàng) 知識(shí)清單 4 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m d n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則ak al am an 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為2d 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 是等差數(shù)列 5 若 an 是等差數(shù)列 則ak ak m ak 2m k m N 組成公差為md的等差數(shù)列 考點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則其前n項(xiàng)和Sn 或Sn na1 d 2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn n2 n 非零數(shù)列 an 是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和Sn f n 是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng) 即Sn An2 Bn A2 B2 0 3 在等差數(shù)列 an 中 若a1 0 d0 則Sn存在最 1 等差數(shù)列可以由首項(xiàng)a1和公差d確定 所有關(guān)于等差數(shù)列的計(jì)算和證明 都可圍繞a1和d進(jìn)行 2 對(duì)于等差數(shù)列問題 一般給出兩個(gè)條件 就可以通過列方程 組 求出a1 d 如果再給出第三個(gè)條件 就可以完成an a1 d n Sn的 知三求二 問題 這體現(xiàn)了用方程思想解決問題的思路 3 注意設(shè)元技巧 減少運(yùn)算量 如果三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 一般可設(shè)為a d a a d 如果四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 可設(shè)為a 3d a d a d a 3d 有關(guān)等差數(shù)列運(yùn)算的求解技巧 方法技巧 解題導(dǎo)引 解析Sn na1 d 因?yàn)镾1 S2 S4成等比數(shù)列 所以S1 S4 即a1 4a1 6d 2a1 d 2 因?yàn)閍1 所以 2 6d 1 d 2 即d2 d 0 解得d 0或d 1 又因?yàn)閐 0 所以d 1 故選A 1 證明一個(gè)數(shù)列 an 為等差數(shù)列的基本方法有兩種 1 利用等差數(shù)列的定義證明 即證明an 1 an d n N 2 利用等差中項(xiàng)證明 即證明an 2 an 2an 1 n N 2 解選擇題 填空題時(shí) 可用通項(xiàng)法或前n項(xiàng)和法直接判斷 1 通項(xiàng)法 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 即an An B 則 an 是等差數(shù)列 2 前n項(xiàng)和法 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn是Sn An2 Bn的形式 A B是常數(shù) 則 an 為等差數(shù)列 等差數(shù)列的判定與證明 解析 1 證明 bn 1 bn 2 數(shù)列 bn 是公差為2的等差數(shù)列 又b1 2 bn 2 n 1 2 2n 2n 解得an 2 由 1 可得cn cncn 2 2 數(shù)列 cncn 2 的前n項(xiàng)和為 求等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法 二次函數(shù)法 當(dāng)公差d 0時(shí) 將Sn看作關(guān)于n的二次函數(shù) 運(yùn)用配方法 借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合 使問題得解通項(xiàng)公式法 求使an 0 或an 0 成立的最大n值即可得Sn的最大 或最小 值不等式法 當(dāng)Sn最大時(shí) 有 n 2 n N 解此不等式組確定n的范圍 進(jìn)而確定n的值和對(duì)應(yīng)Sn的值 即Sn的最值 例3在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項(xiàng)和為Sn 且S10 S15 當(dāng)n取何值時(shí) Sn取得最大值 并求出它的最大值 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題