第六章數(shù)列 高考文數(shù) 6 3等比數(shù)列及其前n項和 知識清單 考點一等比數(shù)列的定義及通項公式1 定義 如果一個數(shù)列從第二項起 每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 2 等比中項 如果a G b成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的等比中項 且G ab 0 3 通項公式 等比數(shù)列的通項公式為an a1qn 1 a1 q 0 考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應用1 等比數(shù)列 an 滿足或時 an 是遞增數(shù)列 滿足或時 an 是遞減數(shù)列 2 有窮等比數(shù)列中 與首末兩項等距離的兩項的積相等 特別地 當項數(shù)為奇數(shù)時 還等于中間項的平方 3 等比數(shù)列的一些結(jié)論 1 在等比數(shù)列中 每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列 構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列 2 若 an 是等比數(shù)列 則 an an 皆為等比數(shù)列 公比分別為q和 q 為非零常數(shù) 3 一個等比數(shù)列各項的k次冪仍組成一個等比數(shù)列 新公比是原公比的k次冪 4 an 為等比數(shù)列 若a1 a2 an Tn 則Tn 成等比數(shù)列 5 若數(shù)列 an 與 bn 均為等比數(shù)列 則 m an bn 與仍為等比數(shù)列 其中m是不為零的常數(shù) 4 當q 0 q 1時 Sn k k qn k 0 是 an 為等比數(shù)列的充要條件 這時k 5 對于正整數(shù)m n p q 若m n p q 則在等比數(shù)列 an 中 am an ap aq的關系為am an ap aq 6 Sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 則 S2k Sk 2 Sk S3k S2k 考點三等比數(shù)列的前n項和公式Sn 等比數(shù)列的基本運算等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 所求問題可迎刃而解 解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關公式 并能靈活運用 在運算過程中 還應善于運用整體代換思想簡化運算過程 例1 2016安徽皖江名校聯(lián)考 8 已知Sn是各項為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的前n項和 a2 a4 16 S3 7 則a8 C A 32B 64C 128D 256 方法技巧 解題導引由 a2 a4及已知求a3用a1 q表示a3 S2求出q由an 0確定q的值結(jié)論 解析 an 為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 a2 a4 16 a3 4 a3 a1q2 4 S3 7 S2 S3 a3 3 1 q2 3 1 q 即3q2 4q 4 0 q 或q 2 an 0 q 2 則a1 1 a8 27 128 等比數(shù)列性質(zhì)的應用策略若m n p q m n p q N 則am an ap aq 1 特別地 當m n 2k m n k N 時 am an 2 對有窮等比數(shù)列 與首末兩項 等距離 的兩項之積等于首末兩項之積 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 n N 例2 2017福建4月模擬 6 已知遞增的等比數(shù)列 an 的公比為q 其前n項和Sn1C a1 0 00 q 1 解析 Snan 且 an an 1 則 an an 1 0 則q 0 1 a1 0 0 q 1 故選A 方法總結(jié) an 是等比數(shù)列 公比為q q 1 熟記下列結(jié)論能快速解題 當q 1 a1 0或01 a10時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 例3 2017湖南三湘名校聯(lián)盟三模 10 一個等比數(shù)列 an 的前三項的積為2 最后三項的積為4 且所有項的積為64 則該數(shù)列有 B A 13項B 12項C 11項D 10項 解題導引方法1 用基本量表示出前三項之積和后三項之積求出qn 1 2由 64求出n方法2 由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1an 2由倒序相乘得64 a1an 2結(jié)論 解析解法一 設首項為a1 公比為q 共有n項 前三項之積為q3 2 最后三項之積為q3n 6 4 兩式相乘得q3 n 1 8 即qn 1 2 又a1 a1q a1q2 a1qn 1 64 64 則 qn 1 n 642 2n 642 n 12 故選B 解法二 a1 an 3 8 a1 an 2 a1 an n 2n 642 n 12 等比數(shù)列的判定與證明1 證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法 1 q 與n值無關的常數(shù) n N 2 anan 2 n N 2 定義不僅能證明一個數(shù)列是等比數(shù)列 也能判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列 可通過三個連續(xù)項不成等比數(shù)列證明 也可以用反證法證明 例4 2015廣東 19 14分 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn n N 已知a1 1 a2 a3 且當n 2時 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 1 求a4的值 2 證明 為等比數(shù)列 3 求數(shù)列 an 的通項公式 解題導引 1 令n 2 得4S4 5S2 8S3 S1得a4的值 2 n 2時將原等式化簡為4 Sn 2 Sn 1 4 Sn 1 Sn Sn Sn 1 an 2 an 1 an n 2 將n 1代入上式 成立an 2 an 1 an 得結(jié)論 3 由 2 得2nan 1 2n 1 an 2 2n 1 an 為等差數(shù)列得an 解析 1 當n 2時 4S4 5S2 8S3 S1 即4 a1 a2 a3 a4 5 a1 a2 8 a1 a2 a3 a1 整理得a4 又a2 a3 所以a4 2 證明 當n 2時 有4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 即4Sn 2 4Sn Sn 4Sn 1 4Sn 1 Sn 1 所以4 Sn 2 Sn 1 4 Sn 1 Sn Sn Sn 1 即an 2 an 1 an n 2 經(jīng)檢驗 當n 1時 上式成立 因為 為常數(shù) 且a2 a1 1 所以數(shù)列是以1為首項 為公比的等比數(shù)列 3 由 2 知 an 1 an n N 等式兩邊同乘2n 得2nan 1 2n 1an 2 n N 又20a1 1 所以數(shù)列 2n 1an 是以1為首項 2為公差的等差數(shù)列 所以2n 1an 2n 1 即an n N 則數(shù)列 an 的通項公式為an n N