第十五章坐標系與參數(shù)方程 高考理數(shù) 考點一坐標系與極坐標1 極坐標系 在平面上取一個定點O 由O點出發(fā)的一條射線Ox 一個長度單位 一個角度單位 通常取弧度 及計算角度的正方向 通常取逆時針方向 合稱為一個極坐標系 O點稱為極點 Ox稱為極軸 平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度 和從Ox到OM的角度 來刻畫 如圖所示 這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對 稱為點M的極坐標 稱為 極徑 稱為 極角 知識清單 2 極坐標與直角坐標的互化設M為平面上的一點 它的直角坐標為 x y 極坐標為 由圖可知下面的關系式成立 或順便指出 上式對 0也成立 這就是極坐標與直角坐標的互化公式 3 圓的極坐標方程 1 圓心在極點 半徑為R的圓的極坐標方程為 R 2 圓心在極軸上的點 a 0 處 且過極點O的圓的極坐標方程為 2acos 3 圓心在點處且過極點O的圓的極坐標方程為 2asin 注意當圓心不在直角坐標系的坐標軸上時 要求圓的極坐標方程 通常把極點放置在圓心處 極軸與x軸同向 然后運用極坐標與直角坐標的互化公式 或4 簡單曲線的極坐標方程 考點二參數(shù)方程1 參數(shù)方程的概念一般地 在平面直角坐標系中 如果曲線上任意一點的坐標x y都是某個變數(shù)t的函數(shù) 并且對于t的每一個允許值 由方程組所確定的點M x y 都在這條曲線上 那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程 聯(lián)系變數(shù)x y的變數(shù)t叫做參變數(shù) 簡稱參數(shù) 相對于參數(shù)方程而言 直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程 2 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程轉化而來 設直線的點斜式方程為y y0 k x x0 k 0 其中k tan 為直線的傾斜角 代入上式 得y y0 x x0 0且 即 記上式的比值為t 整理后得t為參數(shù) 3 圓的參數(shù)方程若圓心為點M0 x0 y0 半徑為R 則圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 4 橢圓的參數(shù)方程橢圓 1 a b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 5 拋物線的參數(shù)方程是t為參數(shù) 知識拓展 1 極坐標方程與直角坐標方程的互化 1 前提條件 i 極點與原點重合 ii 極軸與x軸正向重合 iii 取相同的單位長度 2 若把直角坐標化為極坐標 求極角 時 應注意判斷角的終邊所在的象限 以便正確地求出角 2 參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù) 一要熟練掌握常用技巧 如整體代換 二要注意變量取值范圍的一致性 這一點最易忽視 3 根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義 有如下常用結論 1 直線與圓錐曲線相交 交點對應的參數(shù)分別為t1 t2 則弦長l t1 t2 2 定點M0是弦M1M2的中點 t1 t2 0 3 設弦M1M2的中點為M 則點M對應的參數(shù)值tM 由此可求 M2M 及中點坐標 若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合 極軸與x軸正半軸重合 則極坐標方程與直角坐標方程可以互化 極坐標方程化為直角坐標方程時 通常通過變形構造 cos sin 2的形式進行解決 其中方程的兩邊同乘 或同時平方是常用的變形方法 要注意變形的等價性 例1 2017河北衡水中學期末 22 在平面直角坐標系中 以坐標原點為極點 x軸非負半軸為極軸建立極坐標系 已知直線l與橢圓C的極坐標方程分別為cos 2sin 0 2 1 求直線l與橢圓C的直角坐標方程 2 若點Q是橢圓C上的動點 求點Q到直線l的距離的最大值 極坐標方程與直角坐標方程的互化方法 方法技巧 解題導引 解析 1 cos 2sin 0 cos 2 sin 0 x 2y 0 2 2cos2 4 2sin2 4 x2 4y2 4 y2 1 所以直線l與橢圓C的直角坐標方程分別為x 2y 0 y2 1 2 因為橢圓C y2 1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 所以可設點Q 2cos sin 因此點Q到直線l x 2y 0的距離d 所以當 k k Z 即 k 時 d取最大值 將參數(shù)方程中的參數(shù)消去便得到普通方程 消去參數(shù)時常用的方法是代入法 有時也根據(jù)參數(shù)的特征 通過對參數(shù)方程的加 減 乘 除 乘方等運算而消去參數(shù) 消參時要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中點的坐標的影響 即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性 參數(shù)方程與普通方程的互化方法 例2 2017課標全國 22 10分 在直角坐標系xOy中 直線l1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 直線l2的參數(shù)方程為 m為參數(shù) 設l1與l2的交點為P 當k變化時 P的軌跡為曲線C 1 寫出C的普通方程 2 以坐標原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 設l3 cos sin 0 M為l3與C的交點 求M的極徑 解題導引 方法總結極坐標問題既可以化為直角坐標處理 也可以直接用極坐標求解 但要注意極徑 極角的取值范圍 避免漏根或增根