第十六章不等式選講 高考理數(shù) 考點(diǎn)一含絕對值不等式的解法1 ax b c ax b c型不等式的解法 1 若c 0 則 ax b c等價于 c ax b c ax b c等價于ax b c或ax b c 然后根據(jù)a b的值求解即可 2 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 x a x b c x a x b c型不等式的解法通過零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對值的幾何意義進(jìn)行求解 1 零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟 令每個絕對值符號內(nèi)的一次式為零 并求出相應(yīng)的根 將這些根按從小到大順序排列 把實(shí)數(shù)集分為若干個區(qū)間 由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式 解這些不等式 求出解 知識清單 集 取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對值不等式的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點(diǎn)到a b對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差 因此對形如 x a x b c的不等式 利用絕對值的幾何意義求解更直觀 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 考點(diǎn)二不等式的證明證明不等式的常用結(jié)論 1 絕對值的三角不等式定理1 若a b為實(shí)數(shù) 則 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0時 等號成立 定理2 設(shè)a b c為實(shí)數(shù) 則 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) a b b c 0時 等號成立 推論1 a b a b 推論2 a b a b 2 三個正數(shù)的算術(shù) 幾何平均不等式 如果a b c R 那么 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時等號成立 3 基本不等式 基本不等式的推廣 對于n個正數(shù)a1 a2 an 它們的算術(shù) 平均值不小于它們的幾何平均值 即 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an時 等號成立 1 基本性質(zhì)法 對于a 0 x a xa 2 平方法 不等式兩邊同時平方去掉絕對值符號 3 零點(diǎn)分區(qū)間法 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式 可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對值符號 將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式 組 求解 4 幾何法 利用絕對值的幾何意義 畫出數(shù)軸 將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解 5 數(shù)形結(jié)合法 在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象 利用函數(shù)圖象求解 含絕對值不等式的解法 方法技巧 例1 2016課標(biāo)全國 24 10分 已知函數(shù)f x x 1 2x 3 1 畫出y f x 的圖象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 f x 3分 y f x 的圖象如圖所示 5分 2 由f x 的表達(dá)式及圖象 當(dāng)f x 1時 可得x 1或x 3 6分 當(dāng)f x 1時 可得x 或x 5 7分 故f x 1的解集為 x 11的解集為 10分 解析 1 當(dāng)a 0時 由f x g x 得 x 1 2 x 兩邊平方 并整理得 3x 1 1 x 0 所以所求不等式的解集為 2 解法一 由f x g x 得 x 1 2 x a 即 x 1 2 x a 令F x x 1 2 x 依題意可得F x max a F x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 當(dāng)且僅當(dāng)x 0時 上述不等式的等號同時成立 所以F x max 1 所以a的取值范圍是 1 解法二 由f x g x 得 x 1 2 x a 即 x 1 2 x a 令F x x 1 2 x 依題意可得F x max a F x x 1 2 x 易得F x 在 0 上單調(diào)遞增 在 0 上單調(diào)遞減 所以當(dāng)x 0時 F x 取得最大值 最大值為1 故a的取值范圍是 1 不等式證明的常用方法有 比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法 數(shù)學(xué)歸納法等 例3 2016廣東肇慶三模 24 已知a 0 b 0 且a b 1 1 求ab的最大值 2 求證 不等式的證明