第十四章坐標系與參數(shù)方程 高考文數(shù) 考點一坐標系1 平面直角坐標系中的伸縮變換 1 設點P x y 是平面直角坐標系中的任意一點 在變換 的作用下 點P x y 對應到點P x y 稱 為平面直角坐標系中的伸縮變換 2 常見的伸縮變換問題的題型 已知變換前的解析式及伸縮變換 求變換后的解析式 已知伸縮變換及變換后的解析式 求變換前的解析式 已知變換前 后的解析式 求伸縮變換 知識清單 1 極坐標系的四要素 極點 極軸 單位 長度單位 角度單位 以及 正方向 2 點的極坐標是由極徑和極角組成的有序實數(shù)對 即 一般地 不作特殊說明時 我們認為 0 R 3 直角坐標與極坐標的互化 1 兩者互化的前提 直角坐標系的原點與極點重合 x軸的正半軸與極軸重合 在兩種坐標系中取相同的長度單位 2 互化公式 設M是平面內的任意一點 它的直角坐標 極坐標分別為 x y 和 則有 且 3 把直角坐標化為極坐標 求極角時 應注意確定極角 的終邊所在的位置 以便準確地求出 4 簡單曲線的極坐標方程 2 極坐標系及極坐標 考點二參數(shù)方程1 直線 圓和橢圓的參數(shù)方程和普通方程 2 參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù) 一要熟練掌握常用技巧 如整體代換 二要注意變量取值范圍的一致性 這一點最易忽視 知識拓展1 求曲線的極坐標方程的步驟 1 建立適當?shù)臉O坐標系 設P 是曲線上任意一點 2 由曲線上的點所適合的條件 列出曲線上任意一點的極徑 與極角 之間的關系式 3 將列出的關系式進行整理 化簡 得出曲線的極坐標方程 2 根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義 有如下常用結論 1 直線與圓錐曲線相交 交點對應的參數(shù)分別為t1 t2 則弦長l t1 t2 2 定點M0是弦M1M2的中點 t1 t2 0 3 設弦M1M2的中點為M 則點M對應的參數(shù)值tM 由此可求 M2M 及中點坐標 極坐標方程與直角坐標方程的互化方法若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合 極軸與x軸正半軸重合 并在兩種坐標系中取相同的長度單位 則極坐標方程與直角坐標方程可以互化 極坐標方程化為直角坐標方程時通常通過構造 cos sin 2的形式 其中方程兩邊同乘以 或同時平方是常用的變形方法 要注意變形的等價性 例1 2017山西孝義三模 22 在平面直角坐標系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 曲線C2的普通方程為 1 以原點為極點 x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 1 求曲線C1的普通方程和C2的極坐標方程 2 若A B是曲線C2上的兩點 且OA OB 求 的值 方法技巧 解析 1 曲線C1的普通方程為 x 1 2 y2 1 即x2 2x y2 0 曲線C2的極坐標方程為 2cos2 4 2sin2 16 只要寫出 的關系式均可 2 曲線C2的極坐標方程為 1 設A 1 B 代入C2的極坐標方程得 1 1 故 例2 2015課標 23 10分 在直角坐標系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 1 求C1 C2的極坐標方程 2 若直線C3的極坐標方程為 R 設C2與C3的交點為M N 求 C2MN的面積 解析 1 因為x cos y sin 所以C1的極坐標方程為 cos 2 C2的極坐標方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 5分 2 將 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 MN 由于C2的半徑為1 所以 C2MN的面積為 10分 參數(shù)方程與普通方程的互化方法1 將參數(shù)方程化為普通方程 需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有 代入消參法 加減消參法 平方消參法等 對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程 常利用同角三角函數(shù)關系式消參 如sin2 cos2 1等 2 將參數(shù)方程化為普通方程時 要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中點的坐標的影響 注意兩種方法的等價性 避免產生增解 3 將普通方程化為參數(shù)方程時 應選擇適當?shù)膮?shù) 把點 x y 的橫 縱坐標分別用參數(shù)表示出來 同時注意參數(shù)的意義和取值范圍 例3 2017江蘇 21C 10分 在平面直角坐標系xOy中 已知直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 曲線C的參數(shù)方程為 s為參數(shù) 設P為曲線C上的動點 求點P到直線l的距離的最小值 解題導引消去參數(shù)t得直線l的普通方程設P 2s2 2s 利用點到直線的距離公式得距離的表達式利用二次函數(shù)求距離的最小值 解析直線l的普通方程為x 2y 8 0 因為點P在曲線C上 設P 2s2 2s 從而點P到直線l的距離d 當s 時 dmin 因此當點P的坐標為 4 4 時 曲線C上點P到直線l的距離取到最小值 例4 2017安徽師大附中等名校聯(lián)考 22 在平面直角坐標系xOy中 圓C的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 在以原點O為極點 x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中 直線l的極坐標方程為 cos 1 求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程 2 設直線l與x軸 y軸分別交于A B兩點 點P是圓C上任意一點 求A B兩點的極坐標和 PAB面積的最小值 解題導引 1 利用sin2t cos2t 1消去參數(shù)t得圓C的普通方程利用兩角和的余弦公式和極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的直角坐標方程 2 先求出A B的直角坐標 再化為極坐標利用圓C的參數(shù)方程設出點P的坐標由點到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識求出點P到直線l距離的最小值求出 AB 利用三角形面積公式求S PAB的最小值 解析 1 由 t為參數(shù) 消去參數(shù)t 得 x 5 2 y 3 2 2 所以圓C的普通方程為 x 5 2 y 3 2 2 由 cos 得 cos sin 2 可得直線l的直角坐標方程為x y 2 0 2 直線l與x軸 y軸的交點分別為A 2 0 B 0 2 化為極坐標為A 2 B 設點P的坐標為 5 cost 3 sint 則點P到直線l的距離為d 所以dmin 2 又 AB 2 所以 PAB面積的最小值 2 2 4 與參數(shù)方程有關問題的求解方法1 過定點P0 x0 y0 傾斜角為 的直線的參數(shù)方程的標準式為 t為參數(shù) 使用該式時直線上任意兩點P1 P2對應的參數(shù)分別為t1 t2 則 P1P2 t1 t2 線段P1P2的中點對應的參數(shù)為 t1 t2 2 對于形如 t為參數(shù) 的參數(shù)方程 當a2 b2 1時 應先化為標準式后才能利用t的幾何意義解題 3 解決與直線與圓 圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時 要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式 主要通過互化解決與圓 圓錐曲線上動點有關的問題 如最值 范圍等 例5 2017河北 五個一名校 聯(lián)盟二模 22 在平面直角坐標系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 以坐標原點O為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 直線l的極坐標方程為 cos l與C交于A B兩點 1 求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程 2 設點P 0 2 求 PA PB 的值 解題導引 1 利用sin2 cos2 1得曲線C的普通方程利用極直互化公式得直線l的直角坐標方程 2 寫出直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得關于t的一元二次方程利用t的幾何意義及根與系數(shù)的關系得結果