第四章三角函數(shù) 高考文數(shù) 4 2三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) 知識(shí)清單 考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) 考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及其變換1 用五點(diǎn)法畫y Asin x 一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫y Asin x 一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí) 要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 如下表所示 2 由函數(shù)y sinx的圖象變換得到y(tǒng) Asin x A 0 0 圖象的步驟上述兩種變換的區(qū)別 先相位變換再周期變換 伸縮變換 平移的量是 個(gè)單位 而先周期變換 伸縮變換 再相位變換 平移的量是 0 個(gè)單位 原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的 知識(shí)拓展三角函數(shù)的綜合應(yīng)用1 三角函數(shù)y Asin x y Acos x 的定義域?yàn)镽 y Atan x 的定義域?yàn)?2 函數(shù)y Asin x y Acos x 的最大值為 A 最小值為 A 函數(shù)y Atan x 的值域?yàn)镽 3 函數(shù)y Asin x 圖象的對(duì)稱軸為x k Z 對(duì)稱中心為 k Z 函數(shù)y Acos x 圖象的對(duì)稱軸為x k Z 對(duì) 稱中心為 k Z 函數(shù)y Atan x 圖象的對(duì)稱中心為 k Z 4 函數(shù)y Asin x y Acos x 的圖象與x軸的交點(diǎn)都為對(duì)稱中心 過波峰 波谷且垂直于x軸的直線都為對(duì)稱軸 5 函數(shù)y Atan x 的圖象與x軸的交點(diǎn)和漸近線與x軸的交點(diǎn)都為對(duì)稱中心 無對(duì)稱軸 6 求三角函數(shù)最值常見的函數(shù)形式 1 y asinx bcosx sin x 其中cos sin 2 y asin2x bcos2x a b 0 y Asin2x Bcos2x sin 2x 其中tan 再利用有界性處理 3 y asin2x bcosx c a 0 可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)式 4 y asinx a b c 0 令sinx t 則轉(zhuǎn)化為求y at 1 t 1 且t 0 的最值 一般可結(jié)合圖象求解 5 y a sinx cosx bsinx cosx c型常用換元法 令t sinx cosx t 則sinxcosx 把三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解 注意新元的取值范圍 由圖象確定三角函數(shù)解析式的方法確定解析式y(tǒng) Asin x B A 0 0 的步驟和方法 1 求A B 先確定函數(shù)的最大值M和最小值m 則A B 2 求 確定函數(shù)的最小正周期T 則 3 求 的常用方法 代入法 把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入 此時(shí)A B可知 或代入圖象與直線y B的交點(diǎn)坐標(biāo)求解 此時(shí)要注意交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是在遞增區(qū)間上 還是在遞減區(qū)間上 五點(diǎn)法 確定 的值時(shí) 往往以尋找 五點(diǎn)法 中的第一個(gè)點(diǎn)為突破口 具體步驟如下 選 第一個(gè)點(diǎn) 即圖象上升時(shí)與直線y B的交點(diǎn) 時(shí) 方法技巧 令 x 0 選 第二個(gè)點(diǎn) 即圖象的 峰點(diǎn) 時(shí) 令 x 選 第三個(gè)點(diǎn) 即圖象下降時(shí)與直線y B的交點(diǎn) 時(shí) 令 x 選 第四個(gè)點(diǎn) 即圖象的 谷點(diǎn) 時(shí) 令 x 選 第五個(gè)點(diǎn) 時(shí) 令 x 2 例1 2016課標(biāo)全國 3 5分 函數(shù)y Asin x 的部分圖象如圖所示 則 A A y 2sinB y 2sinC y 2sinD y 2sin 解題導(dǎo)引由圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)得A由圖象得周期T 確定 值利用代入法求出 值寫出函數(shù)解析式 解析由題圖可知A 2 則T 所以 2 則y 2sin 2x 因?yàn)轭}圖經(jīng)過點(diǎn) 所以2sin 2 所以 2k k Z 即 2k k Z 當(dāng)k 0時(shí) 所以y 2sin 故選A 三角函數(shù)周期和對(duì)稱軸 對(duì)稱中心 的求解方法1 三角函數(shù)周期的求解方法 定義法 公式法 函數(shù)y Asin x y Acos x 的最小正周期T 函數(shù)y Atan x 的最小正周期T 圖象法 對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的三角函數(shù)的周期可畫出函數(shù)的圖象 從而觀察出周期大小 轉(zhuǎn)化法 對(duì)于較為復(fù)雜的三角函數(shù) 可通過恒等變換將其轉(zhuǎn)化為y Asin x B 或y Acos x B或y Atan x B 的類型 再利用公式法求得 2 三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解方法 熟記以下各函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心 y sinx圖象的對(duì)稱軸為x k k Z 對(duì)稱中心為 k 0 k Z y cosx圖象的對(duì)稱軸為x k k Z 對(duì)稱中心為 k Z y tanx圖象的對(duì)稱中心為 k Z 無對(duì)稱軸 利用整體代換思想求解函數(shù)y Asin x 圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心 令 x k k Z 解得x k Z 即為對(duì)稱軸方程 令 x k k Z 解得x k Z 即為對(duì)稱中心的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)為0 例2 2017山東 7 5分 函數(shù)y sin2x cos2x的最小正周期為 C A B C D 2 解題導(dǎo)引利用輔助角公式化為同名三角函數(shù)利用T 得出最小正周期 解析y sin2x cos2x 2sin 從而最小正周期T 例3 2018河南中原名校聯(lián)考 6 將函數(shù)f x sin的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g x 的圖象 則 A A g x 在上單調(diào)遞減 為奇函數(shù)B g x 在上單調(diào)遞增 為偶函數(shù)C g x 的周期為 圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D g x 的最大值為1 圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱 解題導(dǎo)引由f x 的解析式根據(jù)平移法則求出g x 的解析式逐項(xiàng)進(jìn)行判斷得出正確結(jié)論 解析由題意得g x sin sin 2x sin2x 對(duì)于選項(xiàng)A 當(dāng)x 時(shí) 2x 滿足g x 單調(diào)遞減 顯然g x 是奇函數(shù) 故A正確 對(duì)于選項(xiàng)B 由于g x 的周期為 且為奇函數(shù) 故B錯(cuò)誤 對(duì)于選項(xiàng)C g x 的周期為 而g 0 故g x 的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C錯(cuò)誤 對(duì)于選項(xiàng)D g x 的最大值為1 而g 0 因此圖象不關(guān)于直線x 對(duì)稱 故D錯(cuò)誤 由此可知選A 三角函數(shù)的單調(diào)性與最值 值域 的求解方法1 求函數(shù)y Asin x 或y Acos x 或y Atan x 的單調(diào)區(qū)間時(shí) 一般先將x的系數(shù)化為正值 通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化 再把 x 視為一個(gè)整體 結(jié)合基本初等函數(shù)y sinx 或y cosx或y tanx 的單調(diào)性找到 x 在x R上滿足的條件 通過解不等式求得單調(diào)區(qū)間 2 三角函數(shù)的最值和值域問題一般有兩種類型 形如y asinx b a 0 或y acosx b a 0 的函數(shù)的最值或值域問題 利用正 余弦函數(shù)的有界性 1 sinx 1 1 cosx 1 求解 求三角函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)自變量x的集合時(shí) 要注意考慮三角函數(shù)的周期性 形如y asin2x bsinx c x D a 0 或y acos2x bcosx c x D a 0 的函數(shù)的最值或值域問題 通過換元 令t sinx 或t cosx 將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù) 利用配方法求其最值或值域 求解過程中要注意t的范圍 例4 1 2017課標(biāo)全國 6 5分 函數(shù)f x sin cos的最大值為 A A B 1C D 2 2017安徽二模 6 函數(shù)f x cos 0 的最小正周期是 則其圖象向右平移個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 B A k Z B k Z C k Z D k Z 解題導(dǎo)引 1 利用兩角和與差的正余弦公式將f x 化成同名三角函數(shù)利用函數(shù)的有界性得其最大值 2 由最小正周期是 得 的值利用平移法則得平移后的解析式利用換元思想及三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 解析 1 f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值為 故選A 2 由函數(shù)f x cos 0 的最小正周期是 得 解得 2 則 f x cos 將其圖象向右平移個(gè)單位后 對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y cos cos sin2x 由 2k 2x 2k k Z 解得所求單調(diào)遞減區(qū)間為 k Z 故選B 例5 2015重慶 18 13分 已知函數(shù)f x sin2x cos2x 1 求f x 的最小正周期和最小值 2 將函數(shù)f x 的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍 縱坐標(biāo)不變 得到函數(shù)g x 的圖象 當(dāng)x 時(shí) 求g x 的值域 解題導(dǎo)引 1 通過三角變換將f x 化為Asin x B的形式由公式T 求其最小正周期利用三角函數(shù)的有界性求其最小值 2 求得函數(shù)g x 的解析式由自變量x的范圍及三角函數(shù)的性質(zhì)求出g x 的值域