第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考定位高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 直線和圓的極坐標(biāo)方程 參數(shù)方程與普通方程的互化 常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用 以極坐標(biāo) 參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式 同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí) 1 求C和l的直角坐標(biāo)方程 2 若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 2 求l的斜率 真題感悟 當(dāng)cos 0時(shí) l的直角坐標(biāo)方程為y tan x 2 tan 當(dāng)cos 0時(shí) l的直角坐標(biāo)方程為x 1 2 將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程 整理得關(guān)于t的方程 1 3cos2 t2 4 2cos sin t 8 0 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn) 1 2 在C內(nèi) 所以 有兩個(gè)解 設(shè)為t1 t2 則t1 t2 0 故2cos sin 0 于是直線l的斜率k tan 2 2 2018 全國(guó) 卷 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的方程為y k x 2 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 3 0 1 求C2的直角坐標(biāo)方程 2 若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn) 求C1的方程 解 1 由x cos y sin 得C2的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 3 0 即 x 1 2 y2 4 2 由 1 知C2是圓心為A 1 0 半徑為2的圓 由題設(shè)知 C1是過(guò)點(diǎn)B 0 2 且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線 記y軸右邊的射線為l1 y軸左邊的射線為l2 由于B在圓C2的外面 故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn) 或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) A到l1所在直線的距離為2 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng)k 0時(shí) l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn) l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) A到l2所在直線的距離為2 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng)k 0時(shí) l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn) 1 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 考點(diǎn)整合 2 直線的極坐標(biāo)方程 3 圓的極坐標(biāo)方程 解 1 設(shè)P的極坐標(biāo)為 0 M的極坐標(biāo)為 1 1 0 由 OM OP 16得C2的極坐標(biāo)方程為 4cos 0 因此C2的直角坐標(biāo)方程為 x 2 2 y2 4 x 0 2 設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為 B B 0 由題設(shè)知 OA 2 B 4cos 于是 OAB的面積 解因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為 4cos 所以曲線C是圓心為 2 0 直徑為4的圓 所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn) 解 1 a 1時(shí) 直線l的普通方程為x 4y 3 0 2 直線l的普通方程是x 4y 4 a 0 設(shè)曲線C上點(diǎn)P 3cos sin 5sin 4 a 的最大值為17 若a 0 則 5 4 a 17 a 8 若a 0 則5 4 a 17 a 16 綜上 實(shí)數(shù)a的值為a 16或a 8 探究提高1 將參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程 常用的消參方法有代入消參 加減消參 三角恒等式消參等 往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形 為消去參數(shù)創(chuàng)造條件 2 在與直線 圓 橢圓有關(guān)的題目中 參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍 尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題 可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中 根據(jù)參數(shù)的取值條件求解 所以點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為 0 2 曲線 的普通方程為x2 y 2 2 4 代入x2 y 2 2 4 整理得 t2 8tsin 12 0 設(shè)點(diǎn)P Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1 t2 則t1t2 12 所以直線l的普通方程為xsin ycos 2cos 0 由 cos2 8sin 得 cos 2 8 sin 把x cos y sin 代入上式 得x2 8y 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 8y 2 將直線l的參數(shù)方程代入x2 8y 得t2cos2 8tsin 16 0 設(shè)A B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 t2 當(dāng) 0時(shí) AB 的最小值為8 探究提高1 涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題 求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解 當(dāng)然 還要結(jié)合題目本身特點(diǎn) 確定選擇何種方程 2 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用 即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 或者利用 和 的幾何意義 直接求解 能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的 從而曲線C的極坐標(biāo)方程為 2 4 cos 0 即 4cos 1 在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn) 距離 線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí) 如果不能直接用極坐標(biāo)解決 或用極坐標(biāo)解決較麻煩 可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決 2 要熟悉常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程 如 圓 橢圓 及過(guò)一點(diǎn)的直線 在研究直線與它們的位置關(guān)系時(shí)常用的技巧是轉(zhuǎn)化為普通方程解答