第2講不等式選講 高考定位本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法 求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中的參數(shù)的取值范圍 不等式的證明等 結(jié)合集合的運(yùn)算 函數(shù)的圖象和性質(zhì) 恒成立問題及基本不等式 絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn) 主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 1 2018 全國(guó) 卷 設(shè)函數(shù)f x 2x 1 x 1 1 畫出y f x 的圖象 2 當(dāng)x 0 時(shí) f x ax b 求a b的最小值 真題感悟 y f x 的圖象如圖所示 2 由 1 知 y f x 的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2 且各部分所在直線斜率的最大值為3 故當(dāng)且僅當(dāng)a 3且b 2時(shí) f x ax b在 0 成立 因此a b的最小值為5 2 2017 全國(guó) 卷 已知函數(shù)f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范圍 解 1 當(dāng)a 1時(shí) f x x2 x 4 當(dāng) 1 x 1時(shí) f x g x x 2 x 1 0 則 1 x 1 當(dāng)x 1時(shí) f x g x x2 3x 4 0 解得 1 x 4 又x 1 不等式此時(shí)的解集為空集 2 依題意得 x2 ax 4 2在 1 1 上恒成立 則x2 ax 2 0在 1 1 上恒成立 故a的取值范圍是 1 1 1 絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理1 如果a b是實(shí)數(shù) 則 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0時(shí) 等號(hào)成立 定理2 如果a b c是實(shí)數(shù) 那么 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) a b b c 0時(shí) 等號(hào)成立 2 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c c ax b c 2 ax b c ax b c或ax b c 考點(diǎn)整合 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 利用絕對(duì)值不等式的幾何意義直觀求解 2 利用零點(diǎn)分段法求解 3 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 4 基本不等式 熱點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法 例1 2018 衡水中學(xué)質(zhì)檢 已知函數(shù)f x 2x 2 x 3 解 1 依題意得 2x 2 x 3 3x 2 當(dāng)x 1時(shí) 原不等式可化為2x 2 x 3 3x 2 無(wú)解 探究提高1 含絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù) 絕對(duì)值不等式可利用分段函數(shù)的圖象的幾何直觀性求解 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 2 解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào) 常用的零點(diǎn)分段法的一般步驟 求零點(diǎn) 劃分區(qū)間 去絕對(duì)值符號(hào) 分段解不等式 求各段的并集 此外 還常用絕對(duì)值的幾何意義 結(jié)合數(shù)軸直觀求解 訓(xùn)練1 2018 全國(guó) 卷 設(shè)函數(shù)f x 5 x a x 2 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 0的解集 2 若f x 1 求a的取值范圍 可得f x 0的解集為 x 2 x 3 2 f x 1等價(jià)于 x a x 2 4 又 x a x 2 a 2 且當(dāng)x 2時(shí)等號(hào)成立 故f x 1等價(jià)于 a 2 4 由 a 2 4可得a 6或a 2 所以a的取值范圍是 6 2 熱點(diǎn)二不等式的證明 例2 2017 全國(guó) 卷 已知實(shí)數(shù)a 0 b 0 且a3 b3 2 證明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 證明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因?yàn)?a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 所以 a b 3 8 因此a b 2 探究提高1 證明不等式的基本方法有比較法 綜合法 分析法和反證法 其中比較法和綜合法是基礎(chǔ) 綜合法證明的關(guān)鍵是找到證明的切入點(diǎn) 2 當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí) 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 如果待證命題是否定性命題 唯一性命題或以 至少 至多 等方式給出的 則考慮用反證法 訓(xùn)練2 2018 濟(jì)南調(diào)研 已知函數(shù)f x x 1 解 1 f x f 2x 5 x 1 2x 4 x 9 當(dāng)x 2時(shí) 不等式為4x 12 解得x 3 故x 3 當(dāng) 2 x 1時(shí) 不等式為5 9 不成立 當(dāng)x 1時(shí) 不等式為2x 6 解得x 3 故x 3 綜上所述 不等式的解集為 3 3 2 f x a f x b x a 1 x b 1 x a 1 x b 1 a b a b a 0 b 0 熱點(diǎn)三絕對(duì)值不等式恒成立 存在 問題 例3 2017 全國(guó) 卷 已知函數(shù)f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范圍 由f x 1可得 當(dāng)x 1時(shí)顯然不滿足題意 當(dāng) 1 x 2時(shí) 2x 1 1 解得x 1 則1 x 2 當(dāng)x 2時(shí) f x 3 1恒成立 x 2 綜上知f x 1的解集為 x x 1 2 不等式f x x2 x m等價(jià)于f x x2 x m 令g x f x x2 x 則g x m解集非空只需要 g x max m 當(dāng)x 1時(shí) g x max g 1 3 1 1 5 當(dāng)x 2時(shí) g x max g 2 22 2 3 1 探究提高1 不等式恒成立問題 存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決 2 本題分離參數(shù)m 對(duì)含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)g x 分段討論 求出g x 的最大值 進(jìn)而求出m的取值范圍 優(yōu)化解題過程 訓(xùn)練3 2018 鄭州調(diào)研 設(shè)函數(shù)f x x a 2a 1 若不等式f x 1的解集為 x 2 x 4 求實(shí)數(shù)a的值 2 在 1 的條件下 若不等式f x k2 k 4恒成立 求實(shí)數(shù)k的取值范圍 解 1 因?yàn)?x a 2a 1 所以 x a 1 2a 所以2a 1 x a 1 2a 所以a 1 x 1 3a 因?yàn)椴坏仁絝 x 1的解集為 x 2 x 4 2 由 1 得f x x 1 2 不等式f x k2 k 4恒成立 只需f x min k2 k 4 所以 2 k2 k 4 即k2 k 2 0 所以k的取值范圍是 1 2 1 絕對(duì)值不等式的三種常用解法 零點(diǎn)分段法 幾何法 利用絕對(duì)值幾何意義 構(gòu)造函數(shù)法 前者體現(xiàn)了分類討論思想 后者體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 2 利用絕對(duì)值三角不等式定理 a b a b a b 求函數(shù)最值 要注意其中等號(hào)成立的條件 利用基本不等式求最值也必須滿足等號(hào)成立的條件 不等式恒成立問題 存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決 3 分析法是證明不等式的重要方法 當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式 基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系 較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí) 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆