第十六講坐標(biāo)系與參數(shù)方程 總綱目錄 考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 1 圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M 0 0 半徑為r 則圓的極坐標(biāo)方程為 2 2 0cos 0 r2 0 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 1 當(dāng)圓心位于極點(diǎn) 半徑為r時 r 2 當(dāng)圓心位于M a 0 半徑為a時 2acos 3 當(dāng)圓心位于M 半徑為a時 2asin 2 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M 0 0 且與極軸所成的角為 則它的極坐標(biāo)方程為 sin 0sin 0 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 1 過極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為 0和 0 2 過點(diǎn)M a 0 且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為 cos a 3 過點(diǎn)M且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為 sin b 3 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法 2018課標(biāo)全國 22 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的方程為y k x 2 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 3 0 1 求C2的直角坐標(biāo)方程 2 若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn) 求C1的方程 解析 1 由x cos y sin 得C2的直角坐標(biāo)方程為 x 1 2 y2 4 2 由 1 知C2是圓心為A 1 0 半徑為2的圓 由題設(shè)知 C1是過點(diǎn)B 0 2 且關(guān)于y軸對稱的兩條射線 記y軸右邊的射線為l1 y軸左邊的射線為l2 由于B在圓C2的外面 故C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價于l1與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C2有兩個公共點(diǎn) 或l2與C2只有一個公共點(diǎn)且l1與C2有兩個公共點(diǎn) 當(dāng)l1與C2只有一個公共點(diǎn)時 A到l1所在直線的距離為2 所以 2 故k 或k 0 經(jīng)檢驗 當(dāng)k 0時 l1與C2沒有公共點(diǎn) 當(dāng)k 時 l1與C2只有一個公共點(diǎn) l2與C2有兩個公共點(diǎn) 當(dāng)l2與C2只有一個公共點(diǎn)時 A到l2所在直線的距離為2 所以 2 故k 0或k 經(jīng)檢驗 當(dāng)k 0時 l1與C2沒有公共點(diǎn) 當(dāng)k 時 l2與C2沒有公共點(diǎn) 綜上 所求C1的方程為y x 2 方法歸納 1 求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路求曲線的極坐標(biāo)方程問題通?？衫没セ睫D(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解 然后再次利用互化公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程 熟練掌握互化公式是解決問題的關(guān)鍵 2 解決極坐標(biāo)問題的一般思路一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo) 再將其化為極坐標(biāo) 二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立 根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo) 1 2018云南昆明模擬 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C的方程為 x 2 2 y2 4 直線l的方程為x y 12 0 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 分別寫出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程 2 在極坐標(biāo)系中 極角為 的射線m與曲線C 直線l分別交于A B兩點(diǎn) A異于極點(diǎn)O 求的最大值 解析 1 由x cos y sin 得曲線C的極坐標(biāo)方程為 4cos 直線l的極坐標(biāo)方程為 cos sin 12 0 2 由題意得 OA 4cos 因為 cos sin 12 0 所以 OB 所以 sin 因為 所以2 所以sin 所以的最大值為 此時 2 在直角坐標(biāo)系xOy中 以O(shè)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C的極坐標(biāo)方程為 cos 1 M N分別為曲線C與x軸 y軸的交點(diǎn) 1 寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程 并求M N的極坐標(biāo) 2 設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P 求直線OP的極坐標(biāo)方程 解析 1 cos 1 cos cos sin sin 1 又 x y 1 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x y 2 0 令y 0 則x 2 令x 0 則y M 2 0 N M的極坐標(biāo)為 2 0 N的極坐標(biāo)為 2 易求MN的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 P的極角為 直線OP的極坐標(biāo)方程為 R 考點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用 1 直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P0 x0 y0 傾斜角為 的直線的參數(shù)方程為 t是參數(shù) 設(shè)P是直線上的任意一點(diǎn) 則 t 表示有向線段的長度 2 圓的參數(shù)方程圓心在點(diǎn)M0 x0 y0 半徑為r的圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 3 圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓 1 a b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 雙曲線 1 a 0 b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 拋物線y2 2px p 0 的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 2018課標(biāo)全國 22 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 1 求C和l的直角坐標(biāo)方程 2 若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 2 求l的斜率 解析 1 曲線C的直角坐標(biāo)方程為 1 當(dāng)cos 0時 l的直角坐標(biāo)方程為y tan x 2 tan 當(dāng)cos 0時 l的直角坐標(biāo)方程為x 1 2 將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程 整理得關(guān)于t的方程 1 3cos2 t2 4 2cos sin t 8 0 因為曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn) 1 2 在C內(nèi) 所以 有兩個解 設(shè)為t1 t2 則t1 t2 0 又由 得t1 t2 故2cos sin 0 于是直線l的斜率k tan 2 注 因為在教材中 參數(shù)方程與普通方程對應(yīng) 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對應(yīng) 所以本題中的 直角坐標(biāo)方程 更改為 普通方程 更合適 方法歸納參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)方程的應(yīng)用 1 將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程 常用的消參方法有代入消參 三角恒等式消參等 往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形 為消去參數(shù)創(chuàng)造條件 2 在與直線 圓 橢圓有關(guān)的題目中 參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍 尤其是求取值范圍和最值問題 可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中 根據(jù)參數(shù)的取值條件求解 1 2018課標(biāo)全國 22 10分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 O的參數(shù)方程為 為參數(shù) 過點(diǎn) 0 且傾斜角為 的直線l與 O交于A B兩點(diǎn) 1 求 的取值范圍 2 求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程 解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化 直線與圓的位置關(guān)系 1 O的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 1 當(dāng) 時 l與 O交于兩點(diǎn) 當(dāng) 時 記tan k 則l的方程為y kx l與 O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1 即 或 綜上 的取值范圍是 2 l的參數(shù)方程為 設(shè)A B P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA tB tP 則tP 且tA tB滿足t2 2tsin 1 0 于是tA tB 2sin tP sin 又點(diǎn)P的坐標(biāo) x y 滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程 2 若直線l與曲線C的兩個交點(diǎn)分別為M N 直線l與x軸的交點(diǎn)為P 求 PM PN 的值 解析 1 由直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 消去參數(shù)t 得x y 1 0 由曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 利用平方關(guān)系 得x2 y 2 2 4 則x2 y2 4y 0 令 2 x2 y2 y sin 代入得C的極坐標(biāo)方程為 4sin 2 在直線x y 1 0中 令y 0 得點(diǎn)P 1 0 把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2 3t 1 0 t1 t2 3 t1t2 1 由直線參數(shù)方程的幾何意義 得 PM PN t1 t2 1 考點(diǎn)三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題 2018福建福州四校聯(lián)考 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線C2的方程為y x 以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程 2 若直線C2與曲線C1交于A B兩點(diǎn) 求 解析 1 由曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 得曲線C1的普通方程為 x 2 2 y 2 2 1 則C1的極坐標(biāo)方程為 2 4 cos 4 sin 7 0 由于直線C2過原點(diǎn) 且傾斜角為 故其極坐標(biāo)方程為 R 2 由得 2 2 2 7 0 設(shè)A B對應(yīng)的極坐標(biāo)為 1 2 則 1 2 2 2 1 2 7 方法歸納解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的方法 1 對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下 我們可以先化成直角坐標(biāo)系下的普通方程 這樣思路可能更加清晰 2 對于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題 用參數(shù)方程計算會比較簡潔 3 利用極坐標(biāo)方程解決問題時 要注意題目所給的限制條件及隱含條件 1 2018廣東惠州第一次調(diào)研 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C2的極坐標(biāo)方程為 cos tan 1 求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程 2 若C1與C2交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 求 的值 解析 1 由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得 曲線C1的普通方程為4x 3y 2 0 由x cos y sin 可得 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y x2 2 由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 2 2 將曲線C1的參數(shù)方程 t為參數(shù) 代入y x2 得9t2 80t 150 0 設(shè)t1 t2分別是點(diǎn)A B對應(yīng)的參數(shù) 則t1 t2 t1t2 0 2 2018遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn) 極軸為x軸的正半軸 兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同 已知曲線C的極坐標(biāo)方程為 2sin 0 2 1 求曲線C的直角坐標(biāo)方程 2 在曲線C上求一點(diǎn)D 使它到直線l t為參數(shù) 的距離最短 寫出D點(diǎn)的直角坐標(biāo) 解析 1 由 2sin 可得 2 2 sin 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2y 0 2 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 消去t得l的普通方程為y x 5 由 1 得曲線C的圓心為 0 1 半徑為1 又點(diǎn) 0 1 到直線l的距離為 2 1 所以曲線C與l相離 設(shè)D x0 y0 且點(diǎn)D到直線l y x 5的距離最短 則曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線l平行 1 又 y0 1 2 1 x0 舍去 或x0 y0 點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為