第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列 高考定位1 等差 等比數(shù)列基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點 經(jīng)常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 2 數(shù)列的通項也是高考熱點 常在解答題中的第 1 問出現(xiàn) 難度中檔以下 1 2017 全國 卷 等差數(shù)列 an 的首項為1 公差不為0 若a2 a3 a6成等比數(shù)列 則 an 前6項的和為 A 24B 3C 3D 8 答案A 真題感悟 答案D 3 2018 全國 卷 記Sn為數(shù)列 an 的前n項和 若Sn 2an 1 則S6 解析因為Sn 2an 1 所以當n 1時 a1 2a1 1 解得a1 1 答案 63 4 2018 全國 卷 等比數(shù)列 an 中 a1 1 a5 4a3 1 求 an 的通項公式 2 記Sn為 an 的前n項和 若Sm 63 求m 解 1 設(shè) an 的公比為q 由題設(shè)得an qn 1 由已知得q4 4q2 解得q 0 舍去 q 2或q 2 故an 2 n 1或an 2n 1 由Sm 63得 2 m 188 此方程沒有正整數(shù)解 若an 2n 1 則Sn 2n 1 由Sm 63得2m 64 解得m 6 綜上 m 6 1 等差數(shù)列 考點整合 2 等比數(shù)列 熱點一等差 等比數(shù)列的基本運算 例1 1 2018 濰坊三模 已知 an 為等比數(shù)列 數(shù)列 bn 滿足b1 2 b2 5 且an bn 1 bn an 1 則數(shù)列 bn 的前n項和為 解析由b1 2 b2 5 且an bn 1 bn an 1 從而bn 1 bn 3 則數(shù)列 bn 是首項為2 公差為3的等差數(shù)列 答案C 2 2018 全國 卷 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a1 7 S3 15 求 an 的通項公式 求Sn 并求Sn的最小值 解 設(shè) an 的公差為d 由題意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通項公式為an 2n 9 由 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以當n 4時 Sn取得最小值 最小值為 16 探究提高1 等差 比 數(shù)列基本運算的解題途徑 1 設(shè)基本量a1和公差d 公比q 2 列 解方程組 把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d q 的方程 組 然后求解 注意整體計算 以減少運算量 2 第 2 題求出基本量a1與公差d 進而由等差數(shù)列前n項和公式將結(jié)論表示成 n 的函數(shù) 求出最小值 訓(xùn)練1 1 2018 鄭州調(diào)研 已知等差數(shù)列 an 的公差為2 a2 a3 a6成等比數(shù)列 則 an 的前n項和Sn A n n 2 B n n 1 C n n 1 D n n 2 答案A 2 2017 全國 卷 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 等比數(shù)列 bn 的前n項和為Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 若a3 b3 5 求 bn 的通項公式 若T3 21 求S3 解 設(shè) an 公差為d bn 公比為q 故 bn 的通項公式為bn 2n 1 當d 1時 S3 6 當d 8時 S3 21 2 Sn 2an 2 n 1時 a1 2a1 2 解得a1 2 當n 2時 an Sn Sn 1 2an 2 2an 1 2 an 2an 1 數(shù)列 an 是公比與首項都為2的等比數(shù)列 an 2n bn 10 log2an 10 n 由bn 10 n 0 解得n 10 bn 前9項為正 第10項為0 以后各項為負 使數(shù)列 bn 的前n項和取最大值時的n的值為9或10 答案 1 D 2 9或10 探究提高1 利用等差 比 性質(zhì)求解的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系 從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解 2 活用函數(shù)性質(zhì) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 具有函數(shù)的一些性質(zhì) 如單調(diào)性 周期性等 可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 2 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 答案 1 D 2 B 則Sn 1 Sn 1 2Sn 0 an 0 知Sn 1 0 Sn 1 2Sn 0 故Sn 1 2Sn 2 解由 1 知 Sn 1 2Sn 當n 2時 Sn 2Sn 1 兩式相減 an 1 2an n 2 n N 所以數(shù)列 an 從第二項起成等比數(shù)列 且公比q 2 又S2 2S1 即a2 a1 2a1 a2 a1 1 0 得 1 若數(shù)列 an 是等比數(shù)列 則a2 1 2a1 2 1 經(jīng)驗證得 1時 數(shù)列 an 是等比數(shù)列 遷移探究 若本例中條件 a1 1 改為 a1 2 其它條件不變 試求解第 2 問 解由本例 2 得an 1 2an n 2 n N 又S2 2S1 a2 a1 2 0 an 2 2n 2 n 2 又a1 2 若 an 是等比數(shù)列 a2 2 20 2a1 4 2 故存在 2 此時an 2n 數(shù)列 an 是等比數(shù)列 訓(xùn)練3 2017 全國 卷 記Sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數(shù)列 解 1 設(shè) an 的公比為q 由題設(shè)可得 故 an 的通項公式為an 2 n Sn 1 Sn Sn 2成等差數(shù)列 熱點四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 例4 2018 天津卷 設(shè) an 是等差數(shù)列 其前n項和為Sn n N bn 是等比數(shù)列 公比大于0 其前n項和為Tn n N 已知b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 1 求Sn和Tn 2 若Sn T1 T2 Tn an 4bn 求正整數(shù)n的值 解 1 設(shè)等比數(shù)列 bn 的公比為q q 0 由b1 1 b3 b2 2 可得q2 q 2 0 因為q 0 可得q 2 故bn 2n 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由b4 a3 a5 可得a1 3d 4 由b5 a4 2a6 可得3a1 13d 16 從而a1 1 d 1 故an n 整理得n2 3n 4 0 解得n 1 舍 或n 4 所以 n的值為4 探究提高1 等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題 常用 基本量法 求解 但有時靈活地運用性質(zhì) 可使運算簡便 2 數(shù)列的通項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù) 然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題 訓(xùn)練4 2018 武漢質(zhì)檢 在公比為q的等比數(shù)列 an 中 已知a1 16 且a1 a2 2 a3成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若q10的最小正整數(shù)n的值 解 1 依題意 2 a2 2 a1 a3 且a1 16 2 16q 2 16 16q2 即4q2 8q 3 0 2 由 1 知 當q 1時 an 25 n n 2 正整數(shù)n的最小值為3 1 在等差 比 數(shù)列中 a1 d q n an Sn五個量中知道其中任意三個 就可以求出其他兩個 解這類問題時 一般是轉(zhuǎn)化為首項a1和公差d 公比q 這兩個基本量的有關(guān)運算 2 等差 等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn) 是解決等差 等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具 應(yīng)有意識地去應(yīng)用 但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件 有時需要進行適當變形